Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

گاما رو نصب کن!

اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

میتونی لایو بذاری!
درحال دریافت اطلاعات ...

درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی با پاسخ فصل چهارم: درس 3: تعیین علامت

آخرین ویرایش: 15:41   1400/01/25 30072 گزارش خطا

در یک شرکت تولیدی، سود حاصل از رابطهٔ p(x)=5x200 به دست می‌آید که در آن x تعداد کالای تولید شده است. جدول زیر، سود این شرکت را به ازای چند مقدار x نشان می‌دهد.

100 50 40 20 10 تعداد کالای تولید شده (x)
300 50 0 100- 150- سود حاصله
p(x)=5x200

همان طور که از این جدول استنباط می‌شود، با تولید ٤٠ کالا، این شرکت هیچ سودی نخواهد داشت و اگر بیشتر از ٤٠ کالا تولید شود، شرکت به سود دهی می‌رسد؛ در حالی که با تولید کمتر از این تعداد کالا، این شرکت، سود منفی (زیان) خواهد داشت. علامت P(x) برای xهای مختلف از جدول زیر به دست می‌آید.

x>40 40 x<40  (x)
+ 0 - P(x)

حل بسیاری از مسائل، نیازمند یافتن علامت یک عبارت خاص است که باید آن را تعیین علامت کرد.

تعیین علامت چند جمله‌ای درجهٔ اول

فعالیت (صفحهٔ ۸۳ کتاب درسی)

 

1- نمودار خط y=2x6 در شکل مقابل رسم شده است. با استفاده از آن، علامت  y را در جدول زیر بنویسید.

 نمودار خط

x>3 3 x<3  x
+ 0 - y=2x6

2- نمودار خط y=2x+6 را در شکل مقابل رسم کنید و جدول زیر که علامت y را برای xهای مختلف تعیین می‌کند، کامل کنید.

 نمودار خط

x>3 3 x<3  x
- 0 + y=2x+6

3- در دو قسمت بالا علامت عددی که ضریب x است، چه تفاوتی در جدول تعیین علامت این خطوط ایجاد کرده است؟
علامت این عدد باعث شده است تا علامت y در قبل و بعد از عدد 3 قرینه شود. در واقع طبق دو جدول فوق برای xهای بزرگ‌تر از 3 علامت y همان علامت ضریب x است و برای xهای کوچک‌تر از 3 علامت y مخالف علامت ضریب x است.
4- نشان دهید که علامت عبارت y=ax+b، برای xهای مختلف از جدول زیر تعیین می‌شود.

x>ba ba x<ba  x
موافق علامت a 0 مخالف علامت a y=ax+b

x=baax+b=0y=0

موافق علامت   x>baa>0ax>bax+b>0y>0a 

مخالف علامت   x<baa>0ax<bax+b<0y<0a 

موافق علامت   x>baa<0ax<bax+b<0y<0a 

مخالف علامت   x<baa<0ax>bax+b>0y>0a 

مثال
عبارت y=5x2 را تعیین علامت می‌کنیم.
ریشهٔ عبارت 5x2 از معادلهٔ 5x2=0 به دست می‌آید که برابر x=25 است.
با توجه به اینکه علامت ضریب x؛ یعنی a=5، مثبت است، طبق جدول بالا، جدول تعیین علامت به صورت زیر است:

x>25 25 x<25  x
+ 0 - y=5x2

مقدار y را برای  x=3 و x=1 به دست آورید و صحت علامت اعداد به دست آمده را با جدول بالا بررسی کنید.

مثال
علامت عبارت A=(2x1)(3x) را برای xهای مختلف تعیین می‌کنیم.
جدول تعیین علامت برای هر کدام از عبارت های 3x و2x1 به صورت زیراست:

x>3 3 x<3  x
- 0 + 3x
x>12 12 x<12  x
+ 0 - 2x1

اطلاعات این دو جدول را در یک جدول به صورت زیر می‌نویسیم:

جدول تعیین علامت

بنابراین در سه ناحیهٔ بالا که با رنگ‌های مختلف نشان داده شده، علامت هرکدام از این دو عبارت مشخص شده است. مثلاً برای x>3، عبارت 2x1، مثبت است؛ ولی 3x منفی می‌باشد، پس علامت عبارت حاصل ضرب آنها، منفی خواهد بود. با بحث مشابه، برای دو ناحیهٔ دیگر، جدول تعیین علامت A=(2x1)(3x) به صورت زیر است.

جدول تعیین علامت

دقت کنید که روی ستون‌ها نیزقاعدهٔ ضرب انجام شده است.
مقدار A را برای x=4 و x=0 به دست آورید و صحت علامت مقادیر به دست آمده را با جدول بالا بررسی کنید.

کار در کلاس (صفحهٔ ۸۵ کتاب درسی)

 

هریک از عبارت‌های زیر را تعیین علامت کنید.

A=(3x+1)(x2) (الف
 3x+1=0x=13 
x2=0x=2 

جدول تعیین علامت

B=(2x3)2 (ب

عبارت B چون یک مربع کامل است، بنابراین همواره نامنفی است. در واقع به ازای x=32 مقدار B صفر است و به ازای x32 مقدار آن مثبت است. این موضوع را از جدول تعیین علامت نیز می‌توان دریافت.

جدول تعیین علامت

C=x3(7x) (پ
C=x3.(7x)x=0,7x=0x=7

جدول تعیین علامت

D=x152x (ت
x1=0x=1 
52x=0x=52 

جدول  معادله تعریف نشده

تعیین علامت چندجمله‌ای درجۀ دوم

چند جمله‌ای درجه دوم p(x)=ax2+bx+c را در نظر می‌گیریم که در آن a، b و c اعداد حقیقی‌اند و a0 است. برای حل معادلهٔ p(x)=0 به شیوهٔ مربع کامل، P(x) را به شکل روبه‌رو می‌نویسیم.

p(x)=a[(x+b2a)2Δ4a2]

که در آن Δ=b24ac و می‌دانیم که تعداد ریشه‌های معادلهٔ p(x)=0 به علامت Δ بستگی دارد. با انجام فعالیت زیر علامت P(x) را در حالت‌های مختلف به دست می‌آوریم.

فعالیت (صفحهٔ ۸۶ کتاب درسی)

 

1- فرض کنید که معادلهٔ p(x)=0، دو ریشهٔ متمایز x1 و x2  (x1<x2) داشته و به شکل p(x)=a(xx1)(xx2) تجزیه شده باشد. با تکمیل جدول زیر، علامت P(x) را برای  xهای مختلف تعیین کنید.

جدول ریشهٔ مضاعف

2- اگر معادله p(x)=0 ریشهٔ مضاعف برابر با x1 داشته باشد، می‌توانیم P(x) را به شکل p(x)=a(xx1)2 بنویسیم. با تکمیل جدول زیر، علامت P(x)  را برای  xهای مختلف تعیین کنید.

جدول ریشهٔ مضاعف

3- اکنون فرض کنید Δ<0 باشد، در این صورت معادلهٔ p(x)=0 ریشهٔ حقیقی ندارد. با توجه به اینکه p(x)=a[(x+b2a)2Δ4a2] علامت P(x) را در جدول زیر تعیین کنید.

برای هر xR  x
موافق علامت  a P(x)

Δ<0Δ>0Δ4a>0(x+ba)2Δ4a>(x+b2a)2 

 علامت p(x) همان علامت a است.  (x+b2a)2Δ4a>0 

 با توجه به قسمت بالا، مشخص کنید اگر P(x) برای هر xR، مثبت باشد، a و Δ چه علامتی دارند؟ برای وقتی که P(x) منفی است، نیز علامت a و Δ را  تعیین کنید.
با توجه به قسمت قبل اگر p(x) به ازای هر x، مقدار مثبتی باشد باید a>0 و Δ<0 باشد. به طور مشابه اگر p(x) به ازای هر مقدار x، مقداری منفی باشد باید a<0 و Δ<0 باشد.

مثال
عبارت A=2x2x3 را تعیین علامت می‌کنیم. ابتدا ریشه‌های معادلهٔ A=0 را در صورت وجود، به دست می‌آوریم.

Δ=b24ac=(1)24(2)(3)=1+24=25

پس معادله A=0 دو ریشهٔ متمایز به صورت زیر دارد:

x1=b+Δ2a=1+54=32,x2=bΔ2a=154=1

با توجه به اینکه a=2 است، بنابراین علامت P(x) طبق فعالیت بالا به صورت زیر مشخص می‌شود:

جدول معادله

نمودار سهمی y=2x2x3 در شکل مقابل رسم شده است. به کمک نمودار نیز به سادگی می‌توان علامت y را برای xهای مختلف تعیین کرد. برای x>32 و x<1، نمودار بالای محور xهاست؛ پس y علامت مثبت دارد و برای 1<x<32، نمودار پایین محور xهاست؛ پس علامت y منفی است.

نمودار سهمی

مثال
عبارت p(x)=x(x3)2x2+x2 را تعیین علامت می‌کنیم.
هریک از عبارت‌های موجود در صورت و مخرج را تعیین علامت می‌کنیم و نتایج را در یک جدول می‌نویسیم.

{x=0(x3)2=0x3=0x=3x2+x2=0(x+2)(x1)=0x=2orx=1

 جدول عبارت‌های موجود در صورت و مخرج

کار در کلاس (صفحهٔ ۸۸ کتاب درسی)

 

1- چند جمله‌ای y=x2+x+2  را با محاسبهٔ ریشه‌ها، در یک جدول تعیین علامت کنید؛ سپس با رسم آن، صحت علامت‌های به دست آمده در جدول را با نمودار، بررسی کنید.

جدول عبارت نامعادله

x=1    یا   x2+x+2=0x2x2=0(x2)(x+1)=0x=2
طول رأس سهمی:  x=b2a=12=12y=94 

جدول عبارت نامعادله

جدول عبارت نامعادله

2- عبارت‌های زیر را تعیین علامت کنید.

A=(x29)(3x1) (الف
x29=0x=±3 
3x1=0x=+13 

جدول عبارت نامعادله

B=x2+6x9x2+x+3 (ب
ریشه مضاعف   x2+6x9=0x26x+9=0(x3)2=0x=3 
ریشه حقیقی ندارد.   x2+x+3=0Δ=124×1×3=11<0 

جدول ریشه مضاعف

نامعادله

در سال گذشته با مفهوم نامعادله آشنا شده‌اید. اگر A و B دو عبارت جبری باشند، نامعادله‌هایی که با این دو عبارت ساخته می‌شوند، به صورت زیرند:

می‌خوانیم نامعادله
 A کوچک‌تر از B است.
A کوچک‌تر یا مساوی B است.
A بزرگ‌تر از B است.
A بزرگ‌تر یا مساوی B است.
A<B 
AB 
A>B 
AB

برای حل یک نامعادله می‌توانیم از خواص زیر استفاده کنیم:
١- خاصیت جمع:
برای عبارت‌های جبری A، B و C، اگر A+C<B+C.
2- خاصیت ضرب:
الف) اگر C>0 و A>B سپس AC>BC.
ب) اگر C<0 و A>B سپس  AC<BC.

مثال
نامعادله 5x13x7 را حل می‌کنیم.            5x13x7
به دو طرف نامعادله 3x را اضافه می‌کنیم.            5x13x3x73x

                                                                         2x17
دو طرف نامعادله را در 12 ضرب ‌می‌کنیم.                     2x6

                                                                          x3

بنابراین مجموعه جواب این نامعادله عبارت است از {xR|x3} که با نماد بازه به شکل [3,+) نوشته می‌شود. نمایش هندسی این مجموعه به صورت زیر است:

محور نمایش هندسی

فعالیت (صفحهٔ ۸۹ کتاب درسی)

 

 فرض کنید x متغیری باشد که همزمان در دو نامعادلهٔ زیر صدق می‌کند:

2<3x1,3x18

1- هر کدام از نامعادله‌های بالا را حل کنید و مجموعه جواب‌های به دست آمده را روی محور مقابل آنها رسم کنید.

2<3x1
2<3x13x<1+23x<1x>13

محور  اشتراک مجموعه نامعادله

3x18
3x183x8+13x9x3

محور  اشتراک مجموعه جواب‌

به خاطر وجود «و» بین دو نامعادله، اشتراک مجموعه جواب‌های به دست آمده را مشخص و آن را روی محور مقابل رسم کنید.

محور  اشتراک مجموعه جواب‌

2- می‌توانیم دو نامعادلهٔ فوق را ترکیب کنیم و به شکل یک نامعادلهٔ دوگانه به صورت 2<3x18 بنویسیم. از خواص جمع و ضرب نامساوی‌ها استفاده کنید و این نامعادلهٔ دوگانه را حل کنید:

به دو نامعادله 1+ را اضافه می‌کنیم.     2<3x18

دو نامعادله را در 13 را ضرب می‌کنیم.          1<3x9

13<x3

جواب به دست آمده از این روش را با جوابی که در قسمت بالا به آن رسیده‌اید، مقایسه کنید. نامعادلهٔ دوگانهٔ فوق را به صورت دستگاه نامعادله‌های زیر نیز نشان می‌دهیم:

{3x1>23x18

کار در کلاس (صفحهٔ ۹۰ کتاب درسی)

 

حداقل و حداکثر دمای یک شهر در یک روز، ١٥ و ٢٥ درجهٔ سانتی گراد و رابطه‌ای که درجهٔ فار نهایت (F) را به سانتی گراد (C) تبدیل می‌کند، به صورت C=59(F32) است. حداقل و حداکثر دمای این شهر را برحسب فار نهایت تعیین کنید. (قرار دهید 15C25؛ سپس از ، رابطهٔ داده، (C) را بر حسب F بنویسید و نامعادلهٔ دوگانهٔ به دست آمده را حل کنید.)

15C251559(F32)25×9135F32225+32167F257 

فعالیت (صفحهٔ ۹۰ کتاب درسی)

 

سهمی y=x22x3 را در نظر بگیرید که نمودار آن در شکل مقابل رسم شده است.
الف) به کمک نمودار رسم شده، برای چه مقادیری از x، نمودار سهمی، پایین محور xهاست؟
به ازای 1<x<3 نمودار پایین محور xها می‌افتد.
ب) جدول تعیین علامت عبارت y=x22x3 را رسم کنید و مشخص کنید برای چه مقادیری از x، علامت y منفی است؟

جدول تعیین علامت عبارت

جدول تعیین علامت

پ) نشان دهید که از مجموعه جواب‌های به دست آمده در هر یک از قسمت‌های الف و ب می‌توان برای حل نامعادلهٔ x22x3<0 استفاده کرد.
در قسمت الف و به مشخص شده، به ازای 1<x<3 مقدار y منفی است (y<0) و چون y=x22x3 پس x22x3<0 است. یعنی1<x<3 جواب‌های نامعادله x22x3<0 هستند.

کار در کلاس (صفحهٔ ۹۰ کتاب درسی)

 

هریک از نامعادلات زیر را به دو روش هندسی و جدول تعیین علامت، حل کنید.

x24 (الف

روش هندسی نمودار

طبق نمودار رسم شده به ازای 2x2 نمودار پایین یا روی محور xها است. یعنی [2,2] مجموعه جواب این نامعادله است.

 x24x240x24=0x2=4x=±2  :روش تعیین علامت 

نمودار  مجموعه جواب نامعادله

مجموعه جواب نامعادله بازه  [2,2] است.

3x2x20 (ب
رأس سهمی: b2a=16

جدول نامعادله

y=3x2x2 :روش هندسی

طبق نمودار به ازای x1  یا x23 نامساوی (ب) برقرار است. پس مجموعه جواب این نامعادله (,23][1,+) است.

3x2x2=0Δ=(1)24×3×(2)=1+24=25 :روش تعیین علامت
x=23    یا  x=1±256=1+56x=1

مجموعه جواب نامعادله

(,23][1,+)

مثال
برای چه مقادیری از m، عبارت y=x2+mx+1 همواره مثبت است؟
حل: از درس قبل به یاد داریم، برای اینکه عبارت درجهٔ دوم y=ax2+bx+c همواره مقدار مثبت داشته باشد، باید Δ<0 و a>0 باشد. در این عبارت، a=1 و Δ=m24 است؛ بنابراین m24<0 است.
جدول تعیین علامت، برای m24 به صورت زیر است:

بنابراین برای اینکه m24 منفی باشد، باید 2<m<2.

مثال
نامعادلهٔ x292x+10 را حل می‌کنیم.
برای حل این نامعادله، عبارت x292x+1 را تعیین علامت می‌کنیم. برای این کار ریشه‌های صورت و مخرج این کسر را پیدا می‌کنیم. ریشه‌های معادله x29=0، اعداد ±3 هستند و ریشهٔ معادله 2x+1=0، عدد 12 است . بنابراین، جدول تعیین علامت این کسر به صورت زیر است.

جدول نامعادله

بنابراین اگر 3x<12 و یا x3، عبارت x292x+1 بزرگ‌تر یا مساوی صفر است؛ پس مجموعه جواب این نامعادله عبارت است از: [3,12)[3,+).

نامعادله‌های قدر مطلقی

می‌دانیم که |x| همان فاصلهٔ x از مبدأ، روی خط اعداد حقیقی است. مثلاً |3|=3 و |3|=3 زیرا فاصلهٔ هر دو 3 و 3 از مبدأ برابر 3 است.

فعالیت (صفحهٔ ۹۱ کتاب درسی)

 

1- نامعادلهٔ |x|3 را در نظر بگیرید. مجموعه جواب این نامعادله، شامل اعداد حقیقی x است که فاصلهٔ آنها از مبدأ کوچک‌تر یا مساوی باشد. این اعداد را روی محور زیر نمایش دهید.

مجموعه جواب نامعادله، شامل اعداد حقیقی

مجموعهٔ مقادیری را که در نمودار بالا مشخص کرده‌اید، به صورت بازه بنویسید. [3,3]
2- نامعادلهٔ |x|3 را در نظر بگیرید. مجموعه جواب این نامعادله، شامل اعداد حقیقی x است که فاصلهٔ آنها از مبدأ بزرگ‌تر یا مساوی باشد. این اعداد را روی محور زیر نمایش دهید.

مجموعه جواب نامعادله، شامل اعداد حقیقی

مجموعهٔ این مقادیر را که در نمودار بالا مشخص کرده‌اید، به صورت بازه بنویسید. (,3][+3,+)
3- با استفاده از مراحل بالا، جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پر کنید.

معادله بازه

فرض کنیم a یک عدد حقیقی مثبت و u یک عبارت جبری باشد. در این صورت 
1- اگر |u|a آن‌گاه aua.
2- اگر |u|a آن‌گاه ua یا ua.

مثال
نامعادله‌های زیر را حل می‌کنیم.
الف) |x3|2
ب) |2x1|>5

برای حل نامعادلهٔ الف، با استفاده از خواص قدر مطلق آن را به یک نامعادلهٔ دوگانه تبدیل می‌کنیم: 2x32 اکنون داریم:

2x321x5

پس مجموعه جواب این نامعادله، بازهٔ [1,5] است و نمایش هندسی آن به صورت زیر است.

مجموعه جواب نامعادله

برای حل نامعادلهٔ |x3|2 روش هندسی باید نقاطی مانند x را روی محور پیدا کنیم که فاصلهٔ آنها از نقطهٔ 3، حداکثر دو باشد. بنابراین بازه [1,5]، مطابق شکل زیر به دست می‌آید.

مجموعه جواب نامعادله

برای حل نامعادلهٔ ب نیز از خواص قدر مطلق استفاده می‌کنیم و داریم:

|2x1|>5{2x1>52x>6x>32x1<52x<4x<2

بنابراین مجموعه جواب این نامعادله عبارت است از: (,2)(3,+) و نمایش هندسی آن جواب نیز به صورت زیر است.

مجموعه جواب نامعادله

کار در کلاس (صفحهٔ ۹۳ کتاب درسی)

 

1- در هریک از نامعادله‌های زیر، مجموعه جواب را با نماد بازه به دست آورید؛ سپس آن را روی محور نشان دهید.

الف) |x3+1|<23

|x3+1|<2323<x3+1<23231<x3<231 

53<x3<135<x<1(5,1)

نامعادلهٔ قدر مطلقی

ب) |52x|1

|52x|1{52x12x4x252x12x6x3 
x3(,2][3,+)   یا   x2

نامعادلهٔ قدر مطلقی

2- یک نامعادلهٔ قدر مطلقی بنویسید که مجموعه جواب آن بازهٔ (1،9) باشد.

نامعادلهٔ قدر مطلقی

طبق آنچه در مورد نامعادلات قدر مطلقی می‌دانیم باید نقطه وسط بازه (1,9) را بیابیم تا بتوانیم آن را به صورت |xa|<b در آوریم.

نقطه وسط بازه  1+92=5:(1,9) 

1<x<94<x5<4|x5|<4 

3- یک نامعادلهٔ قدر مطلقی بنویسید که مجموعه جواب آن (,3][6,+) باشد.

x9232|x92|32   یا    x6x9232   یا   x3

نامعادلهٔ قدر مطلقی

تمرین (صفحهٔ ۹۳ کتاب درسی)

 

1- در هریک از نامعادله‌های زیر، مجموعه جواب را به شکل بازه بنویسید.

42x62x3x[2,3] 1<2x33 (الف

x+15x<2x+3 (ب
{x+15x2x4x25x<2x+33x>2x>2323<x2x(23,2]

4<5x<09<x<55-2 \lt \frac{5-x}{2} \lt 0$ (پ

42x3x+1 (ت

معادله - نمودار

x(x2+4)<0 (ث

معادله - نمودار

طبق جدول بازه (,0) مجموعه جواب نامعادله است.

x3xx22x+20 (ج

معادله - نمودار

طبق جدول مجموعه جواب نامعادله (,1][0,1] است.

1<72x<18<2x<63<x<4x(3,4)  |72x|<1 (چ

|x121|3 (ح
x1213   یا    x1213 

x1213x124x18x9

x1213x122x14x3

x3x(,3][9,+)     یا      x9

2- به ازای چه مقادیری از k، عبارت A=x2+3x+k همواره مثبت است؟
با ضریب x2 مثبت و مقدار دلتا  Δ  منفی باشد تا یک عبارت درجه دوم همواره مثبت باشد.

{x2=1>0Δ=324×1×k=94k<04k<9k>94 

3- به ازای چه مقادیری از m، سهمی y=mx2mx1 همواره پایین محور xهاست؟
برای آنکه نمودار سهمی، همواره زیر محور xها باشد باید ضریب x2 منفی باشد و Δ<0 پس باید:

{m<0(I)Δ=(m)24(m)(1)=m2+4m<0 
m2+4m=m(m+4)<0{m=0m+4=0m=4 

معادله - نمودار

اشتراک رابطه‌های I و II نتیجه می‌دهد که باید 4<m<0 باشد.
4- یک جسم از بالای یک ساختمان که ١٣ متر ارتفاع دارد، به هوا پرتاب می‌شود. اگر ارتفاع این جسم از سطح زمین در ثانیهٔ t از رابطهٔ h=5t2+18t+13 محاسبه شود، در چه فاصلهٔ زمانی، ارتفاع توپ از سطح زمین بیشتر از ١٣ متر خواهد بود؟
 ارتفاع بیشتر از 13 متر باشد یعنی h>13 و این یعنی 5t2+18t+13>13 حال نامعادله اخیر را حل می‌کنیم تا t مورد نظر را بیابیم.

معادله

طبق جدول تعیین علامت برای 0<t<185 ارتفاع توپ از ۱۳ متر بیشتر است.
5- تعداد ضربان قلب، پس از x دقیقه کار سنگین بدنی، طبق رابطهٔ y=158x230x+200 به دست می‌آید. در چه زمان‌هایی پس از یک کار سنگین بدنی، تعداد ضربان قلب از 110 بیشتر است؟ آیا تمام جواب‌های به دست آمده قابل قبول‌اند؟
باید نامعادله‌ی 158x230x+200>110  را حل کنیم تا زمان‌های مورد نظر را بیابیم:

158x230x+200>11015x2240x+1600>88015x2240x+720>0

معادله

طبق جدول x(0,4)(12,+) زمان‌های مورد نظر هستند. زمان‌های کمتر از صفر قابل قبول نیستند، زیرا زمان منفی نداریم و همواره زمان کمیتی نامنفی است.