درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی با پاسخ فصل چهارم: درس 3: تعیین علامت
در یک شرکت تولیدی، سود حاصل از رابطهٔ p(x)=5x−200 به دست میآید که در آن x تعداد کالای تولید شده است. جدول زیر، سود این شرکت را به ازای چند مقدار x نشان میدهد.
100 | 50 | 40 | 20 | 10 | تعداد کالای تولید شده (x) |
300 | 50 | 0 | 100- | 150- | سود حاصله p(x)=5x−200 |
همان طور که از این جدول استنباط میشود، با تولید ٤٠ کالا، این شرکت هیچ سودی نخواهد داشت و اگر بیشتر از ٤٠ کالا تولید شود، شرکت به سود دهی میرسد؛ در حالی که با تولید کمتر از این تعداد کالا، این شرکت، سود منفی (زیان) خواهد داشت. علامت P(x) برای xهای مختلف از جدول زیر به دست میآید.
x>40 | 40 | x<40 | (x) |
+ | 0 | - | P(x) |
حل بسیاری از مسائل، نیازمند یافتن علامت یک عبارت خاص است که باید آن را تعیین علامت کرد.
تعیین علامت چند جملهای درجهٔ اول
فعالیت (صفحهٔ ۸۳ کتاب درسی)
1- نمودار خط y=2x−6 در شکل مقابل رسم شده است. با استفاده از آن، علامت y را در جدول زیر بنویسید.
x>3 | 3 | x<3 | x |
+ | 0 | - | y=2x−6 |
2- نمودار خط y=−2x+6 را در شکل مقابل رسم کنید و جدول زیر که علامت y را برای xهای مختلف تعیین میکند، کامل کنید.
x>3 | 3 | x<3 | x |
- | 0 | + | y=−2x+6 |
3- در دو قسمت بالا علامت عددی که ضریب x است، چه تفاوتی در جدول تعیین علامت این خطوط ایجاد کرده است؟
علامت این عدد باعث شده است تا علامت y در قبل و بعد از عدد 3 قرینه شود. در واقع طبق دو جدول فوق برای xهای بزرگتر از 3 علامت y همان علامت ضریب x است و برای xهای کوچکتر از 3 علامت y مخالف علامت ضریب x است.
4- نشان دهید که علامت عبارت y=ax+b، برای xهای مختلف از جدول زیر تعیین میشود.
x>−ba | −ba | x<−ba | x |
موافق علامت a | 0 | مخالف علامت a | y=ax+b |
x=−ba⇒ax+b=0⇒y=0
موافق علامت x>−baa>0→ax>−b⇒ax+b>0⇒y>0→a
مخالف علامت x<−baa>0→ax<−b⇒ax+b<0⇒y<0→a
موافق علامت x>−baa<0→ax<−b⇒ax+b<0⇒y<0→a
مخالف علامت x<−baa<0→ax>−b⇒ax+b>0⇒y>0→a
کار در کلاس (صفحهٔ ۸۵ کتاب درسی)
هریک از عبارتهای زیر را تعیین علامت کنید.
A=(3x+1)(x−2) (الف
3x+1=0⇒x=−13
x−2=0⇒x=2
B=(2x−3)2 (ب
عبارت B چون یک مربع کامل است، بنابراین همواره نامنفی است. در واقع به ازای x=32 مقدار B صفر است و به ازای x≠32 مقدار آن مثبت است. این موضوع را از جدول تعیین علامت نیز میتوان دریافت.
C=x3(7−x) (پ
C=x3.(7−x)⇒x=0,7−x=0⇒x=7
D=x−15−2x (ت
x−1=0⇒x=1
5−2x=0⇒x=52
تعیین علامت چندجملهای درجۀ دوم
چند جملهای درجه دوم p(x)=ax2+bx+c را در نظر میگیریم که در آن a، b و c اعداد حقیقیاند و a≠0 است. برای حل معادلهٔ p(x)=0 به شیوهٔ مربع کامل، P(x) را به شکل روبهرو مینویسیم.
p(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]
که در آن Δ=b2−4ac و میدانیم که تعداد ریشههای معادلهٔ p(x)=0 به علامت Δ بستگی دارد. با انجام فعالیت زیر علامت P(x) را در حالتهای مختلف به دست میآوریم.
فعالیت (صفحهٔ ۸۶ کتاب درسی)
1- فرض کنید که معادلهٔ p(x)=0، دو ریشهٔ متمایز x1 و x2 (x1<x2) داشته و به شکل p(x)=a(x−x1)(x−x2) تجزیه شده باشد. با تکمیل جدول زیر، علامت P(x) را برای xهای مختلف تعیین کنید.
2- اگر معادله p(x)=0 ریشهٔ مضاعف برابر با x1 داشته باشد، میتوانیم P(x) را به شکل p(x)=a(x−x1)2 بنویسیم. با تکمیل جدول زیر، علامت P(x) را برای xهای مختلف تعیین کنید.
3- اکنون فرض کنید Δ<0 باشد، در این صورت معادلهٔ p(x)=0 ریشهٔ حقیقی ندارد. با توجه به اینکه p(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2] علامت P(x) را در جدول زیر تعیین کنید.
برای هر x∈R | x |
موافق علامت a | P(x) |
Δ<0⇒−Δ>0⇒−Δ4a>0⇒(x+ba)2−Δ4a>(x+b2a)2
علامت p(x) همان علامت a است. ⇒(x+b2a)2−Δ4a>0⇒
با توجه به قسمت بالا، مشخص کنید اگر P(x) برای هر x∈R، مثبت باشد، a و Δ چه علامتی دارند؟ برای وقتی که P(x) منفی است، نیز علامت a و Δ را تعیین کنید.
با توجه به قسمت قبل اگر p(x) به ازای هر x، مقدار مثبتی باشد باید a>0 و Δ<0 باشد. به طور مشابه اگر p(x) به ازای هر مقدار x، مقداری منفی باشد باید a<0 و Δ<0 باشد.
کار در کلاس (صفحهٔ ۸۸ کتاب درسی)
1- چند جملهای y=−x2+x+2 را با محاسبهٔ ریشهها، در یک جدول تعیین علامت کنید؛ سپس با رسم آن، صحت علامتهای به دست آمده در جدول را با نمودار، بررسی کنید.
x=−1 یا −x2+x+2=0⇒x2−x−2=0⇒(x−2)(x+1)=0⇒x=2
طول رأس سهمی: x=−b2a=−1−2=12⇒y=94
2- عبارتهای زیر را تعیین علامت کنید.
A=(x2−9)(3x−1) (الف
x2−9=0⇒x=±3
3x−1=0⇒x=+13
B=−x2+6x−9x2+x+3 (ب
ریشه مضاعف −x2+6x−9=0⇒x2−6x+9=0⇒(x−3)2=0⇒x=3
ریشه حقیقی ندارد. x2+x+3=0⇒Δ=12−4×1×3=−11<0
نامعادله
در سال گذشته با مفهوم نامعادله آشنا شدهاید. اگر A و B دو عبارت جبری باشند، نامعادلههایی که با این دو عبارت ساخته میشوند، به صورت زیرند:
میخوانیم | نامعادله |
A کوچکتر از B است. A کوچکتر یا مساوی B است. A بزرگتر از B است. A بزرگتر یا مساوی B است. |
A<B A≤B A>B A≥B |
برای حل یک نامعادله میتوانیم از خواص زیر استفاده کنیم:
١- خاصیت جمع:
برای عبارتهای جبری A، B و C، اگر A+C<B+C.
2- خاصیت ضرب:
الف) اگر C>0 و A>B سپس AC>BC.
ب) اگر C<0 و A>B سپس AC<BC.
فعالیت (صفحهٔ ۸۹ کتاب درسی)
فرض کنید x متغیری باشد که همزمان در دو نامعادلهٔ زیر صدق میکند:
−2<3x−1,3x−1≤8
1- هر کدام از نامعادلههای بالا را حل کنید و مجموعه جوابهای به دست آمده را روی محور مقابل آنها رسم کنید.
−2<3x−1⇒
−2<3x−1⇒−3x<−1+2⇒−3x<1⇒x>−13
3x−1≤8⇒
3x−1≤8⇒3x≤8+1⇒3x≤9⇒x≤3
به خاطر وجود «و» بین دو نامعادله، اشتراک مجموعه جوابهای به دست آمده را مشخص و آن را روی محور مقابل رسم کنید.
2- میتوانیم دو نامعادلهٔ فوق را ترکیب کنیم و به شکل یک نامعادلهٔ دوگانه به صورت −2<3x−1≤8 بنویسیم. از خواص جمع و ضرب نامساویها استفاده کنید و این نامعادلهٔ دوگانه را حل کنید:
به دو نامعادله 1+ را اضافه میکنیم. −2<3x−1≤8
دو نامعادله را در 13 را ضرب میکنیم. −1<3x≤9
−13<x≤3
جواب به دست آمده از این روش را با جوابی که در قسمت بالا به آن رسیدهاید، مقایسه کنید. نامعادلهٔ دوگانهٔ فوق را به صورت دستگاه نامعادلههای زیر نیز نشان میدهیم:
{3x−1>−23x−1≤8
کار در کلاس (صفحهٔ ۹۰ کتاب درسی)
حداقل و حداکثر دمای یک شهر در یک روز، ١٥ و ٢٥ درجهٔ سانتی گراد و رابطهای که درجهٔ فار نهایت (F) را به سانتی گراد (C) تبدیل میکند، به صورت C=59(F−32) است. حداقل و حداکثر دمای این شهر را برحسب فار نهایت تعیین کنید. (قرار دهید 15≤C≤25؛ سپس از ، رابطهٔ داده، (C) را بر حسب F بنویسید و نامعادلهٔ دوگانهٔ به دست آمده را حل کنید.)
15≤C≤25⇒15≤59(F−32)≤25×9→135≤F−32≤225+32→167≤F≤257
فعالیت (صفحهٔ ۹۰ کتاب درسی)
سهمی y=x2−2x−3 را در نظر بگیرید که نمودار آن در شکل مقابل رسم شده است.
الف) به کمک نمودار رسم شده، برای چه مقادیری از x، نمودار سهمی، پایین محور xهاست؟
به ازای −1<x<3 نمودار پایین محور xها میافتد.
ب) جدول تعیین علامت عبارت y=x2−2x−3 را رسم کنید و مشخص کنید برای چه مقادیری از x، علامت y منفی است؟
پ) نشان دهید که از مجموعه جوابهای به دست آمده در هر یک از قسمتهای الف و ب میتوان برای حل نامعادلهٔ x2−2x−3<0 استفاده کرد.
در قسمت الف و به مشخص شده، به ازای −1<x<3 مقدار y منفی است (y<0) و چون y=x2−2x−3 پس x2−2x−3<0 است. یعنی−1<x<3 جوابهای نامعادله x2−2x−3<0 هستند.
کار در کلاس (صفحهٔ ۹۰ کتاب درسی)
هریک از نامعادلات زیر را به دو روش هندسی و جدول تعیین علامت، حل کنید.
x2≤4 (الف
طبق نمودار رسم شده به ازای −2≤x≤2 نمودار پایین یا روی محور xها است. یعنی [−2,2] مجموعه جواب این نامعادله است.
x2≤4⇒x2−4≤0x2−4=0⇒x2=4⇒x=±2 :روش تعیین علامت
مجموعه جواب نامعادله بازه [−2,2] است.
3x2−x−2≥0 (ب
رأس سهمی: −b2a=16
|
y=3x2−x−2⇒ :روش هندسی |
طبق نمودار به ازای x≥1 یا x≤−23 نامساوی (ب) برقرار است. پس مجموعه جواب این نامعادله (−∞,−23]⋃[1,+∞) است.
3x2−x−2=0⇒Δ=(−1)2−4×3×(−2)=1+24=25 :روش تعیین علامت
x=−23 یا ⇒x=1±√256=1+56⇒x=1
⇒(−∞,−23]⋃[1,+∞) |
نامعادلههای قدر مطلقی
میدانیم که |x| همان فاصلهٔ x از مبدأ، روی خط اعداد حقیقی است. مثلاً |3|=3 و |−3|=3 زیرا فاصلهٔ هر دو 3 و −3 از مبدأ برابر 3 است.
فعالیت (صفحهٔ ۹۱ کتاب درسی)
1- نامعادلهٔ |x|≤3 را در نظر بگیرید. مجموعه جواب این نامعادله، شامل اعداد حقیقی x است که فاصلهٔ آنها از مبدأ کوچکتر یا مساوی باشد. این اعداد را روی محور زیر نمایش دهید.
مجموعهٔ مقادیری را که در نمودار بالا مشخص کردهاید، به صورت بازه بنویسید. [−3,3]
2- نامعادلهٔ |x|≥3 را در نظر بگیرید. مجموعه جواب این نامعادله، شامل اعداد حقیقی x است که فاصلهٔ آنها از مبدأ بزرگتر یا مساوی باشد. این اعداد را روی محور زیر نمایش دهید.
مجموعهٔ این مقادیر را که در نمودار بالا مشخص کردهاید، به صورت بازه بنویسید. (−∞,−3]⋃[+3,+∞)
3- با استفاده از مراحل بالا، جاهای خالی را با عبارتهای مناسب پر کنید.
کار در کلاس (صفحهٔ ۹۳ کتاب درسی)
1- در هریک از نامعادلههای زیر، مجموعه جواب را با نماد بازه به دست آورید؛ سپس آن را روی محور نشان دهید.
الف) |x3+1|<23
|x3+1|<23⇒−23<x3+1<23⇒−23−1<x3<23−1
⇒−53<x3<−13⇒−5<x<−1⇒(−5,−1)
ب) |5−2x|≥1
|5−2x|≥1⇒{5−2x≥1⇒−2x≥−4⇒x≤25−2x≤−1⇒−2x≤−6⇒x≥3
x≥3⇒(−∞,2]⋃[3,+∞) یا ⇒x≤2
2- یک نامعادلهٔ قدر مطلقی بنویسید که مجموعه جواب آن بازهٔ (1،9) باشد.
طبق آنچه در مورد نامعادلات قدر مطلقی میدانیم باید نقطه وسط بازه (1,9) را بیابیم تا بتوانیم آن را به صورت |x−a|<b در آوریم.
نقطه وسط بازه 1+92=5:(1,9)
1<x<9⇒−4<x−5<4⇒|x−5|<4
3- یک نامعادلهٔ قدر مطلقی بنویسید که مجموعه جواب آن (−∞,3]⋃[6,+∞) باشد.
x−92≥32⇒|x−92|≥32 یا x≥6⇒x−92≤−32 یا x≤3
تمرین (صفحهٔ ۹۳ کتاب درسی)
1- در هریک از نامعادلههای زیر، مجموعه جواب را به شکل بازه بنویسید.
⇒4≤2x≤6⇒2≤x≤3⇒x∈[2,3] 1<2x−3≤3 (الف
x+1≤5−x<2x+3 (ب
⇒{x+1≤5−x→2x≤4→x≤25−x<2x+3→3x>2→x>23⇒23<x≤2⇒x∈(23,2]
⇒−4<5−x<0⇒−9<−x<−5⇒5-2 \lt \frac{5-x}{2} \lt 0$ (پ
4−2x3x+1 (ت
x(x2+4)<0 (ث
طبق جدول بازه (−∞,0) مجموعه جواب نامعادله است.
x3−xx2−2x+2≤0 (ج
طبق جدول مجموعه جواب نامعادله (−∞,−1]⋃[0,1] است.
⇒−1<7−2x<1⇒−8<−2x<−6⇒3<x<4⇒x∈(3,4) |7−2x|<1 (چ
|x−12−1|≥3 (ح
⇒x−12−1≤3 یا x−12−1≤−3
x−12−1≥3⇒x−12≥4⇒x−1≥8⇒x≥9
x−12−1≤−3⇒x−12≤−2⇒x−1≤−4⇒x≤−3
x≤−3⇒x∈(−∞,−3]⋃[9,+∞) یا ⇒x≥9
2- به ازای چه مقادیری از k، عبارت A=x2+3x+k همواره مثبت است؟
با ضریب x2 مثبت و مقدار دلتا Δ منفی باشد تا یک عبارت درجه دوم همواره مثبت باشد.
{x2=1>0∗Δ=32−4×1×k=9−4k<0⇒−4k<−9⇒k>94
3- به ازای چه مقادیری از m، سهمی y=mx2−mx−1 همواره پایین محور xهاست؟
برای آنکه نمودار سهمی، همواره زیر محور xها باشد باید ضریب x2 منفی باشد و Δ<0 پس باید:
{m<0(I)Δ=(−m)2−4(m)(−1)=m2+4m<0
m2+4m=m(m+4)<0⇒{m=0m+4=0→m=−4
اشتراک رابطههای I و II نتیجه میدهد که باید −4<m<0 باشد.
4- یک جسم از بالای یک ساختمان که ١٣ متر ارتفاع دارد، به هوا پرتاب میشود. اگر ارتفاع این جسم از سطح زمین در ثانیهٔ t از رابطهٔ h=−5t2+18t+13 محاسبه شود، در چه فاصلهٔ زمانی، ارتفاع توپ از سطح زمین بیشتر از ١٣ متر خواهد بود؟
ارتفاع بیشتر از 13 متر باشد یعنی h>13 و این یعنی −5t2+18t+13>13 حال نامعادله اخیر را حل میکنیم تا t مورد نظر را بیابیم.
طبق جدول تعیین علامت برای 0<t<185 ارتفاع توپ از ۱۳ متر بیشتر است.
5- تعداد ضربان قلب، پس از x دقیقه کار سنگین بدنی، طبق رابطهٔ y=158x2−30x+200 به دست میآید. در چه زمانهایی پس از یک کار سنگین بدنی، تعداد ضربان قلب از 110 بیشتر است؟ آیا تمام جوابهای به دست آمده قابل قبولاند؟
باید نامعادلهی 158x2−30x+200>110 را حل کنیم تا زمانهای مورد نظر را بیابیم:
158x2−30x+200>110⇒15x2−240x+1600>880⇒15x2−240x+720>0
طبق جدول x∈(0,4)⋃(12,+∞) زمانهای مورد نظر هستند. زمانهای کمتر از صفر قابل قبول نیستند، زیرا زمان منفی نداریم و همواره زمان کمیتی نامنفی است.