در این بخش، به محاسبه حد توابعی مانند $\frac{f}{g}$ می‌پردازیم که حد صورت و حد مخرج کسر در نقطه $a$، هر دو برابر صفر است.در این‌گونه موارد، نمی‌توانیم از قضیه حد خارج قسمت استفاده کنیم، بنابراین سعی می‌کنیم با تجزیهٔ صورت و مخرج کسر به عامل‌های مناسب، کسر را ساده نماییم. برای این امر از اتحادهای جبری و مثلثاتی استفاده می‌کنیم.

مثال: مقدار $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}$ را بیابید.

حل: با توجه به اینکه $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x - 3) = 0$، پس نمی‌توانیم از قضیه حد خارج قسمت استفاده کنیم. در واقع از $\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} ({x^2} - 9)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x - 3)}}$ عبارت $\frac{0}{0}$ حاصل می‌شود. در این گونه موارد، سعی می‌کنیم کسر را ساده کرده و سپس حد را محاسبه نماییم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\cancel{{(x - 3)}}(x + 3)}}{{\cancel{{(x - 3)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x + 3) = 6$

مثال: مقدار $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 3}}{{x - 1}}$ را بیابید.

حل: حد صورت و مخرج کسر در $x = 1$، برابر صفر می‌شود و در صورت کسر عبارت گنگ $\sqrt {x + 8}  - 3$ وجود دارد. در این‌گونه موارد صورت و مخرج کسر را در یک عبارت مناسب ضرب می‌کنیم تا این عبارت گنگ، به‌عبارتی گویا تبدیل شود.

در این مثال، صورت و مخرج کسر را در عبارت $\sqrt {x + 8}  + 3$ ضرب می‌کنیم.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{\sqrt {x + 8}  - 3}}{{x - 1}} \times \frac{{\sqrt {x + 8}  + 3}}{{\sqrt {x + 8}  + 3}}} \right)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{\left( {\sqrt {x + 8} } \right)}^2} - {{(3)}^2}}}{{(x - 1)\left( {\sqrt {x + 8}  + 3} \right)}}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\cancel{{(x - 1)}}}}{{\cancel{{(x - 1)}}(\sqrt {x + 8}  + 3)}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + 8}  + 3}} = \frac{1}{6}$

مثال:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{1 - \cos x}}{x} \times \frac{{1 + \cos x}}{{1 + \cos x}}} \right)$ (1

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{x(1 + \cos x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{x(1 + \cos x)}}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}} = 1 \times 0 = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos x - \sin x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}$ (2

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cancel{{(\cos x - \sin x)}}}}{{\cancel{{(\cos x - \sin x)}}(\cos x + \sin x)}} = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

مثال: مقدار $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x}  - 1}}{x}$ را بیابید.

حل: قرار می‌دهیم: ${t = \sqrt {1 + x} }$. پس اگر $x$ به صفر نزدیک شود، $t$ به 1 نزدیک می‌شود و داریم $x = {t^2} - 1$ و بنابراین،

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x}  - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{t - 1}}{{{t^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\cancel{{(t - 1)}}}}{{\cancel{{(t - 1)}}(t + 1)}} = \frac{1}{2}$

در مثال فوق، با تغییر متغیر مناسب، حد موردنظر را به یک حد ساده‌تر تبدیل کردیم و سپس حد جدید را محاسبه نمودیم.

مثال: مقدار $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{2x - \pi }}{{\cos x}}$ را بیابید.

حل: قرار می‌دهیم: $t = x - \frac{\pi }{2}$. پس اگر $x$ به $\frac{\pi }{2}$ نزدیک شود، $t$ به صفر نزدیک می‌شود و داریم $x = t + \frac{\pi }{2}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{2x - \pi }}{{\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{2(t + \frac{\pi }{2}) - \pi }}{{\cos (t + \frac{\pi }{2})}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{2t}}{{ - \sin t}} =  - 2\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{t}{{\sin t}} =  - 2 \times 1 =  - 2$