درسنامه آموزشی فصل پنجم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی با پاسخ درس 2: حدهای یک طرفه (حد چپ و حد راست)
در درس قبل دیدیم که تابع f(x)=√2−x در نقطهٔ 2 حد ندارد. (چون در هیچ همسایگی راست 2 تعریف نشده است.) ولی باتوجه به اینکه دامنهٔ این تابع بازهٔ (−∞,2] میباشد میتوانیم رفتار تابع را در همسایگی چپ 2 بررسی نماییم. گاهی لازم است، رفتار تابع را وقتی متغیر x با مقادیر بزرگتر از a به a نزدیک میشود یا وقتی متغییر x با مقادیر کوچکتر از a به a نزدیک می شود بررسی و توصیف نماییم.
فعالیت (صفحه 123 کتاب درسی)
نمودار تابع f(x)={−x+3x>2x2x<2 بهصورت زیر است:
الف) اگر متغییر x با مقادیر بزرگتر از 2 به 2 نزدیک شود آنگاه مقادیر f(x) به عدد .... نزدیک میشوند.
ب) اگر x با مقادیر کوچکتر از 2 به 2 نزدیک شود آنگاه مقادیر f(x) به عدد .... نزدیک میشوند.
پ) آیا تابع f در نقطهٔ x=2 حد دارد؟
در فعالیت بالا، مشاهده کردیم که وقتی از سمت راست (با مقادیر بزرگتر از 2) به 2 نزدیک میشویم، مقادیر تابع به عدد 1 نزدیک میشوند و اگر از سمت چپ (با مقادیرکمتر از 2) به 2 نزدیک شویم مقادیر تابع به عدد 4 نزدیک میشوند. چون این دو مقدار با هم مساوی نیستند، پس وقتی x در یک همسایگی محذوف 2 به عدد 2 نزدیک میشود، مقادیر f(x) به عدد مشخصی نزدیک نمیشوند و درنتیجه این تابع در 2 حد ندارد.
اگر تابعی در یک همسایگی محذوف نقطهای مانند a، تعریف شده باشد، آنگاه با توجه به مفهوم حد راست و حد چپ میتوان گفت:
کاردرکلاس (صفحه 125 کتاب درسی)
1) با توجه به نمودار f، حدهای خواسته شده را، در صورت وجود، بهدست آورید.
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = ....
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = ....
2) نموداری از یک تابع رسم کنید که:
الف) در یک همسایگی محذوف 2 تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد.
ب) در یک همسایگی محذوف 2 تعریف شده باشد ولی در این نقطه حد نداشته باشد.
پ) در یک همسایگی 2 تعریف شده باشد و در این نقطه حد نداشته باشد.
ت) در یک همسایگی 2 تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد ولی حد آن با مقدار تابع در نقطه 2، یکسان نباشد.
فعالیت (صفحه 126 کتاب درسی)
1) نمودار تابع f(x) = \left[ x \right] را در فاصله \left[ { - 1,2} \right] رسم کنید.
2) اگر x از طرف چپ به عدد 1 نزدیک شود، آنگاه مقادیر f(x) به عدد .... نزدیک میشوند، بنابراین:
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = ....
3) حد راست تابع f در نقطه x = 1 را بهدست آورید.
4) آیا تابع f در نقطه x = 1 حد دارد؟ چرا؟
در فعالیت قبل مشاهده کردیم که در بازهٔ (1,2) که یک همسایگی راست 1 میباشد نمودار تابع f(x) = \left[ x \right] بر نمودار تابع ثابت g(x) = 1 منطبق است و داریم \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g(x) = 1.
به همین ترتیب، در (0,1) که یک همسایگی چپ 1 میباشد نمودار تابع f(x) = \left[ x \right] بر نمودار تابع ثابت h(x) = 0 منطبق است و داریم \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h(x) = 0.
مثال: مقدار حد راست تابع f(x) = \frac{{\left[ x \right]}}{x} را در نقطهٔ x = 0 بهدست آورید.
حل: میدانیم روی بازهٔ (0,1) مقدار \left[ x \right] برابر صفر است، پس روی بازهٔ (0,1) تابع f با تابع ثابت g(x) = 0 برابر است بنابراین:
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left[ x \right]}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g(x) = 0
کاردرکلاس (صفحه 127 کتاب درسی)
1) تابع f با ضابطه f(x) = \frac{{\left| x \right|}}{x} را درنظر بگیرید:
الف) با استفاده از تعریف قدرمطلق، تابع f را بهصورت دوضابطهای بنویسید.
ب) نمودار تابع f را رسم کنید.
پ) با استفاده از نمودار f، حد چپ و حد راست تابع در صفر را بهدست آورید.
ت) آیا تابع f در نقطهٔ صفر حد دارد؟ چرا؟
تمرین (صفحه 127 تا 129 کتاب درسی)
1) نمودار تابع f بهصورت زیر است. حدهای زیر را در صورت وجود بهدست آورید.
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) (الف
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) (ب
\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f(x) (پ
\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f(x) (ت
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) (ث
\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} f(x) (ج
\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} f(x) (چ
2) با رسم نمودار تابع f(x) = \left\{ \begin{gathered} 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 0 \hfill \\ {x^2} + 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. به سؤالات زیر پاسخ دهید:
الف) اگر x از طرف چپ به عدد صفر نزدیک شود آنگاه مقادیر f(x) به عدد ... نزدیک میشوند، بنابراین:
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = ...
ب) حد راست تابع f در نقطهٔ x = 0 را بهدست آورید.
پ) آیا تابع f در نقطهٔ x = 0 حد دارد؟ چرا؟
3) با توجه به نمودارهای توابع داده شده در زیر، هر کدام از گزارههای پایین صفحه در مورد چند تا از این توابع برقرار است؟ در هر مورد توابع را مشخص کنید.
- تابع در همسایگی محذوف 2 تعریف شده و در این نقطه حد دارد.
- تابع در همسایگی 2 تعریف شده و در این نقطه حد دارد ولی مقدار حد با مقدار تابع در این نقطه برابر نیست.
- تابع در همسایگی چپ 2 تعریف شده و در این نقطه حد ندارد.
- تابع در همسایگی 2 تعریف شده و در این نقطه حد دارد و حد آن برابر مقدار تابع در این نقطه است.
- تابع در نقطه 2 تعریف نشده ولی در این نقطه حد دارد.
- تابع در همسایگی راست 2 تعریف شده ولی در این نقطه حد ندارد.
4) با توجه به دامنه تابع، در مورد حد چپ تابع f با ضابطه f(x) = \sqrt {{x^2} - x} در نقطهٔ x = 1 چه میتوان گفت؟
5) با توجه به دامنه تابع، در مورد حد راست تابع f(x) = \frac{x}{{\left[ x \right] - 2}} در نقطه x = 2 چه میتوان گفت؟
6) با رسم نمودار تابع f(x) = - {(x - 1)^2} + 2، حدود زیر را مشخص کنید.
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f(x)} \right] (الف
\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)} \right] (ب
(\left[ {} \right] نماد جزء صحیح است)
7) با رسم نمودار تابع f(x) = \left| x \right|:
الف) مقدار \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| x \right| را بهدست آورید.
ب) اگر a \in \mathbb{R} یک عدد دلخواه باشد آیا تساوی \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left| x \right| = \left| a \right| برقرار است؟