جامعه شناسی (2)
1780 تست
درحال دریافت اطلاعات ...
درسنامه آموزشی فصل دوم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی با پاسخ درس 1: آشنایی بیشتر با تابع
یک تابع از مجموعه A به مجموعه B، رابطه‌ای بین این دو مجموعه است که در آن به هر عضو A، دقیقاً یک عضو از B نسبت داده می‌شود. A را دامنهٔ تابع و B را هم دامنهٔ تابع می‌نامند. برد تابع زیرمجموعه‌ای از هم‌دامنه است.
کاردرکلاس (صفحه 38 تا 39 کتاب درسی)
الف) با توجه به توابع داده شده در جدول زیر، مشخص کنید هر نمودار مربوط به کدام تابع است و جدول را نیز کامل کنید. شباهت‌ها و تفاوت‌های نمودارها را با هم مقایسه کنید.
| k(x) = {x^2} | s(x) = {x^2} | t(x) = {x^2} | h(x) = 2x | g(x) = 2x | f(x) = 2x | تابع |
| \left[ { - \frac{1}{2},2} \right] | \left( { - \infty ,0} \right] | \mathbb{R} | \left( { - 2,2} \right] | \left\{ { - 1,1,2} \right\} | \mathbb{R} | دامنه تابع |
| برد تابع |
ب) جدول زیر را به دلخواه (متفاوت از قسمت الف) کامل و نمودار هر تابع را رسم کنید. پاسخ خود را با پاسخ دوستانتان مقایسه کنید. چند پاسخ متفاوت برای f و g می توان ارائه کرد؟
| g(x) = {x^2} | f(x) = 2x | تابع |
| دامنه | ||
| برد |
به‌طور مثال تابع f در قسمت الف کار در کلاس قبل، تابعی است با دامنهٔ \mathbb{R} و هم‌دامنهٔ \mathbb{R} و ضابطه آن نیز f(x) = 2x است. برای سادگی و اختصار این تابع را به‌صورت مقابل نمایش می‌دهند:
\left\{ \begin{gathered} f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ f(x) = 2x \hfill \\ \end{gathered} \right. (f تابع از \mathbb{R} به \mathbb{R} است.)
به همین ترتیب تابع h قسمت الف را می‌توان چنین نمایش داد.
\left\{ \begin{gathered} h:\left( { - 2,2} \right] \to \left( { - 4,4} \right] \hfill \\ h(x) = 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \hfill \\ \end{gathered} \right.
تابع h را به صورت مقابل هم می‌توان معرفی کرد.
\left\{ \begin{gathered} h:\left( { - 2,2} \right] \to \mathbb{R} \hfill \\ h(x) = 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \hfill \\ \end{gathered} \right.
در هر دو نمایشِ اخیِر تابِع h، دامنه مجموع \left( { - 2,2} \right] و ضابطه آن h(x) = 2x است. در نمایش اول هم‌دامنه \left( { - 4,4} \right] است که همان برد تابع است. در نمایش دوم h، هم‌دامنه را \mathbb{R} در نظر گرفته‌ایم. در این حالت نیز برد تابع \left( { - 4,4} \right] است.
کاردرکلاس (صفحه 40 کتاب درسی)
برای تابع \left\{ \begin{gathered} f:\left[ {0,\frac{1}{3}} \right] \to \left[ {0,\frac{1}{9}} \right] \hfill \\ f(x) = {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \hfill \\ \end{gathered} \right. کدام یک از نمایش‌های زیر نیز قابل قبول است؟
\left\{ \begin{gathered} f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ f(x) = {x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. (الف
\left\{ \begin{gathered} f:\left[ {0,\frac{1}{3}} \right] \to \left[ {0,\infty } \right) \hfill \\ f(x) = {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right. (ب
\left\{ \begin{gathered} f:\mathbb{R} \to \left[ {0,\frac{1}{9}} \right] \hfill \\ f(x) = x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right. (پ
\left\{ \begin{gathered} f:\left[ {0,\frac{1}{3}} \right] \to \mathbb{R} \hfill \\ f(x) = {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \hfill \\ \end{gathered} \right. (ت
تابع به عنوان یک ماشین
می‌توان تابع را همچون ماشینی در نظر گرفت که یک ورودی را دریافت می‌کند و در ازای آن یک خروجی تحویل می‌دهد. ورودی‌ها از دامنه داده می‌شوند و خروجی‌ها به برد تعلق دارند و برای هر ورودی دقیقا یک خروجی وجود دارد (البته ممکن است چند ورودی مختلف خروجی یکسانی داشته باشند). اگر x عنصری دلخواه از دامنه f و y نمایش خروجی نظیر آن باشد، x را متغییر مستقل و y را متغییر وابسته می‌نامند.
در این صورت می‌نویسیم: y = f(x)
کاردرکلاس (صفحه 40 کتاب درسی)
فرض کنید ماشین f به عنوان ورودی، اعداد (حقیقی) را قبول می‌کند و پس از دریافت هر عدد، آن را سه برابر و سپس 5 واحد به آن اضافه می‌کند. در این صورت به ازای ورودی 10، خروجی 35 را می‌دهد. به سؤالات زیر پاسخ دهید:
الف) ماشین به‌ازای ورودی 2-، چه خروجی خواهد داشت؟
ب) اگر خروجی ماشین 4 باشد ورودی آن چقدر بوده است؟
پ) نمایش تابع به‌صورت \left\{ \begin{gathered} f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ f(x) = .... \hfill \\ \end{gathered} \right. است.
ت) نمودار تابع را رسم و دامنه و برد آن را معلوم کنید.
برابری دو تابع
اگر نمودارهای دو تابع در یک دستگاه مختصات داده شده باشند، هنگامی این دو تابع باهم برابرند که نمودارهای آنها کاملاً برهم منطبق شوند. به‌طور مثال هیچ‌کدام از توابع داده شده در قسمت الف کار در کلاس صفحه 38 با یکدیگر برابر نیستند.
اگر دو تابع به صورت مجموعهٔ زوج های مرتب داده شده باشند، هنگامی باهم برابرند که به‌عنوان دو مجموعه باهم برابر باشند.
مثال: تابع‌های f(x) = \sqrt {{x^2}} و g(x) = \left| x \right| با هم برابراند ولی تابع های f(x) = \frac{x}{x} و g(x) = 1 برابر نیستند. چرا؟
کاردرکلاس (صفحه 41 تا 42 کتاب درسی)
1) در جدول زیر کدام یک از توابع داده شدهٔ زیر باهم برابرند؟ دلیل بیاورید:
| g = \left\{ {(1,7),(5,2)} \right\} | f = \left\{ {(1,2),(5,7)} \right\} | 1 |
| g = \left\{ {(c,d),(a,b)} \right\} | f = \left\{ {(a,b),(c,d)} \right\} | 2 |
| \left\{ \begin{gathered} g = {\mathbb{R}^ + } \to \mathbb{R} \hfill \\ g(t) = 3x\,\,\,\,\,\,\,\ \hfill \\ \end{gathered} \right. | \left\{ \begin{gathered} f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ f(x) = 3x \hfill \\ \end{gathered} \right. | 3 |
| g(x) = {x^2} | f(x) = x\left| x \right| | 4 |
| g(x) = \frac{{8x}}{2} | f(x) = 4x | 5 |
2) وقتی در آسمان پدیدهٔ آذرخش رخ می‌دهد، اندکی پس از دیدن نور آن صدای آن را نیز می‌شنویم. صدای ناشی از آذرخش هر 3 ثانیه حدود یک کیلومتر را طی می‌کند. رابطه بین فاصله ما از مکان وقوع آذرخش و زمانی که طول می‌کشد تا صدای آن را بشنویم در جدول زیر (برای برخی زمان‌ها) داده شده است، اگر t \in \left[ {4,12} \right]:
الف) جدول زیر را کامل کنید:
| 12 | 10\frac{1}{5} | 9 | 8 | 5 | 4\frac{1}{2} | 4 | t (ثانیه) | ||
| \frac{{11}}{3} | 2 | \frac{3}{2} | \frac{4}{3} | h (کیلومتر) |
ب) چرا h تابع از t است؟
پ) دامنه و برد این تابع را بنویسید.
ت) نمایش مقابل از تابع h کامل کنید:
\left\{ \begin{gathered} h:\left[ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \right] \to \left[ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \right] \hfill \\ h(t) =\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \hfill \\ \end{gathered} \right.
ث) نمودار تابع h و نمودار تابع y = \frac{1}{3}x را رسم کنید و شباهت‌ها و تفاوت‌های آنها را بیان کنید.
تمرین (صفحه 42 تا 43 کتاب درسی)
1) در صفحه مختصات زیر تابعی رسم کنید که نقاط A و B روی آن قرار داشته باشند. چه تعداد از این توابع وجود دارند؟
2) کدام یک از موارد زیر درست و کدام یک نادرست است؟ دلیل بیاورید.
الف) اگر دامنه دو تابع باهم برابر و برد آنها نیز با یکدیگر برابر باشند، دو تابع برابرند.
ب) برد و هم دامنهٔ تابع می‌توانند یکی باشند.
پ) هم دامنهٔ تابع زیر مجموعه‌ای از برد آن است.
ت) بی‌شمار تابع وجود دارد که دامنهٔ آن بازهٔ \left[ {0,3} \right] است.
3) تابعی مثال بزنید که دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی مثبت باشد. چه تعداد از این توابع وجود دارند؟
4) همه تابع‌های از مجموعه A = \left\{ {a,b,c} \right\} به مجموعه B = \left\{ {d,e} \right\} را بنویسید (از نمودار پیکانی کمک بگیرید).
5) تابع‌های مساوی را مشخص کنید.
| \left\{ \begin{gathered} r:\left[ {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R} \hfill \\ r(a) = 5a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \hfill \\ \end{gathered} \right. | \left\{ \begin{gathered} f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ f(x) = \left| x \right| \hfill \\ \end{gathered} \right. |
| \left\{ \begin{gathered} s:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ s(a) = 5a \hfill \\ \end{gathered} \right. | \left\{ \begin{gathered} g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ g(x) = 5x \hfill \\ \end{gathered} \right. |
| \left\{ \begin{gathered} t:\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R} \hfill \\ t(x) = 5a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \hfill \\ \end{gathered} \right. | h:\mathbb{R} \to \mathbb{R} h(x) = \left\{ \begin{gathered} x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \geqslant 0 \hfill \\ - x\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. |
6) تابع f در همهٔ شرایط زیر صدق می‌کند. f را رسم کنید و ضابطه آن را بنویسید.
الف) دامنه f مجموعه اعداد حقیقی است و f(2) = 3 و f( - 5) = - 2
ب) f در بازه \left[ {0,2} \right] ثابت است.
پ) تابع f به هر عدد بزرگ‌تر از 2 مربع آن را نسبت می‌دهد.
ت) تابع f برای اعداد منفی، خطی است و نمودار آن محور xها را در نقطه‌ای به طول 3- قطع می‌کند.
7) با استفاده از یک تابع خطی و با در دست داشتن طول استخوان بازو (از آرنج تا شانه) می‌توان طول قد یک انسان بزرگ‌سال را برآورد کرد:
تابع خطی برای مردان M(x) = 2/89x + 70/64
تابع خطی برای زنان F(x) = 2/75x + 71/48
که در آنها x طول استخوان بازو برحسب سانتی‌متر است.
الف) اگر طول استخوان بازوی یک مرد 35 سانتی‌متر باشد، طول قد او چقدر است؟
ب) اگر قد یک مرد 185 سانتی‌متر باشد، طول استخوان بازوی او چقدر است؟
پ) برای تابع F(x) نیز مشابه الف و ب یک سؤال طرح کنید و به آن پاسخ دهید.
خواندنی
نتایج یک مطالعه در مورد قد مردان و زنان از سال 1914 تا 2014 نشان می‌دهد که میانگین قد مردان ایرانی در طی این صد سال از 157/1 به 173/6 سانتی‌متر و میانگین قد زنان ایرانی از 148/5 به 159/7 سانتی‌متر رسیده است. مردان ایرانی بیشترین افزایش طول قد در دنیا را در 100 سال اخیر داشته‌اند.
محتواهای آموزشی مشابه
فایل های پاورپوینت، ویدئو، صوتی، متنی و ...
پرسش و پاسخ های مشابه
سوال کنید یا به سوالات دیگران پاسخ دهید ...