درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی و آمار (3) کلاس دوازدهم ادبیات و علوم انسانی درس 1: مدل‌سازی و دنباله

مدل‌سازی

در کتاب یازدهم با بررسی مسائلی از دنیای واقعی، مانند محاسبهٔ قبض برق یک خانه یا مدل ریاضی چراغ راهنمایی و رانندگی، با مفهوم مدل‌سازی آشنا شدیم (رسم نمودارِ توابِع متناظر با مفهوم مطرح شده).

1) یک چراغ راهنمایی و رانندگی از لحظهٔ شروع به کار 25 ثانیه سبز، 5 ثانیه زرد و 15 ثانیه قرمز است. مدل ریاضی مسئله را در 45 ثانیهٔ اوّل شروع به کار چراغ راهنمایی و رانندگی به کمک تابع بنویسید و نمودار آن را رسم کنید.

اگر چراغ روشنِ سبز عدد 1، زرد عدد 2 و قرمز عدد 3 باشد و $f(t)$ عدد چراغ روشن در ثانیهٔ $t$ اُم، با توجه به فرض:

$f(n) = \left\{ \begin{gathered} 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant t < 3\, \hfill \cr ...\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,25 \leqslant t \leqslant 30 \hfill \cr 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,... \leqslant t < ... \hfill \cr \end{gathered} \right.$

${D_f} = \left\{ {t \in {\Bbb R}|.... \leqslant t < ....} \right\}\,\,,\,\,{R_f} = \left\{ {\,\,\,\,,\,\,\,\,,\,\,\,} \right\}$

2) نمودار میله‌ای زیر، تعداد مسافران پیاده شده در هر ایستگاه یک خط مترو در یک مسیر رفت را نشان می‌دهد. اگر $f(n)$ تعداد مسافران پیاده شده از نخستین ایستگاه بعد از مبدأ باشد، جدول، نمودار، ضابطه، دامنه و برد تابع را کامل کنید.

$f(n) = \left\{ \begin{gathered} ..............\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \leqslant n \leqslant 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n \in {\Bbb N} \hfill \\ 15 + 45(n - 4)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4 \leqslant n \leqslant 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

${D_f} = \left\{ {n \in {\Bbb N}|... \leqslant n \leqslant ...} \right\}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{R_f} = \left\{ {\,\,\,,\,\,\,,\,\,\,} \right\}$

یکی از تفاوت‌های توابع مطرح شده در فعالیت الف و ب، دامنهٔ آنهاست. با توجه به اینکه در فعالیت اوّل، دامنهٔ تابع زمان شروع به کار چراغ راهنمایی و رانندگی تا ثانیهٔ 45 اُم است و تابع در تمامی این زمان، قابل تعریف است، پس دامنهٔ تابع زیرمجموعه‌ای از اعداد حقیقی انتخاب شده است.

در فعالیت دوم، دامنهٔ تابع بیانگر شمارهٔ ایستگاه‌های قطار است؛ زیرا عدد 1، ایستگاه اوّل، عدد 2، ایستگاه دوم و… است. پس، دامنهٔ تابع زیر مجموعه‌ای از مجموعهٔ اعداد طبیعی است.

1) اگر $f$ تابع مدل ریاضی هر کدام از مسائل زیر باشد، مانند نمونه، دامنهٔ هر کدام از مسائل را مشخص کنید.

2) داخل هر کدام از مستطیل‌های زیر مسئله‌ای را بنویسید که دامنهٔ مدل ریاضی آن مطابق شکل زیر باشد:

در تعیین دامنهٔ تعریف توابعی که پاسخ آنها وابسته به بررسی مسئله در مرحله یا گام اوّل، دوم، … و

$n$ ام است، از مجموعهٔ اعداد طبیعی استفاده می‌کنیم.

کاربردی دیگر از مجموعۀ اعداد طبیعی

در بسیاری از مسائل واقعی مانند مسائلی که وابسته به زمان‌اند، ممکن است بررسی تابع در هر لحظه از نظر عملی امکان‌پذیر نباشد. در این حالت، با انتخاب نقاطی با فاصلهٔ زمانی یکسان (تشکیل یک سری زمانی) رفتار تابع را به‌طور تقریبی بررسی می‌کنیم.

برای مثال، از لحاظ نظری یک پزشک می‌تواند میزان یک دارو را در بدن بیمار در هر لحظه از شبانه‌روز اندازه‌گیری کند اما در عمل او با فواصل زمانی یکسان (مثلاً در هر یک ساعت از زمان بستری شدن بیمار) به کمک آزمایش، میزان دارو را در بدن بیمار بررسی می‌کند.

به بیان ریاضی، این پزشک رفتار تابعی را که در مجموعهٔ اعداد حقیقی تعریف شده است، در مجموعهٔ اعداد طبیعی بررسی می‌کند (میزان دارو در اوّلین آزمایش، دومین آزمایش و…).

در فعالیت زیر، نمونه‌ای دیگر از همین کاربرد را می‌بینیم.

نمودار زیر شاخص قیمت بورس اوراق بهادار تهران (شاخص کل) را از دی ماه 1391 تا دی ماه 1396 به‌طور تقریبی نشان می‌دهد:

الف) روی نمودار، نقاطی را مشخص کنید که شاخص کل سهام را در تاریخ‌های نوشته شده معلوم کند. در سری زمانی بالا، شاخص کل در چه فاصله‌ای روند کاهشی و در چه فاصله‌ای روند افزایشی داشته است؟ چرا؟

ب) اگر به ترتیب دی 1391 را اوّلین، خرداد 1392 را دومین و… و دی 1396 را یازدهمین تاریخ مورد بررسی در نظر بگیریم و رابطهٔ میان شاخص کل با زمان را با تابع $f$ نشان دهیم، جدول زیر را کامل کنید.

11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	$n$ اُمین تاریخ بررسی
								...	...	25	$f(n)$ مقدار شاخص کل (هزار)

ج) با توجه به رفتار شاخص کل از دی ماه 1394 تا دی ماه 1396 (زمان تألیف این پرسش)، اگر رفتار تابع (شاخص کل) به همین صورت ادامه یابد، کدام یک از اعداد زیر تقریب بهتری برای $f(13)$ است؟ است؟ چرا؟

1) 85000
2) 105000
3) 1125000
4) 100000
5) 125000

د) با مراجعه به پایگاه www.tse.ir مقدار به‌دست آمده برای دی ماه 1397 را با مقدار واقعی آن مقایسه کنید.

خواندنی

«شاخص بورس تهران امروز با 1500 واحد افزایش به 85000 واحد رسید»، «شاخص بورس امروز 500 واحد افت داشت» اینها نمونهٔ جملاتی است که بارها در اخبار اقتصادی شنیده‌ایم، اما این اعداد چه معنایی دارند؟

بازار بورس شاخص‌های مختلفی دارد اما شاید معروف‌ترین آنها - که در اخبار مطرح می‌شود - «شاخص کل» بورس باشد؛همان شاخصی که نمودار آن در فعالیت پیش بررسی شد. این شاخص از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:

نسبت ارزش جاری بازار به ارزش پایهٔ سهام $\times$ 100

در این تعریف، سال پایه سال 1369 در نظر گرفته شده است.

منظور از ارزش جاری بازار، مجموع حاصل ضرب‌های «ارزش سهام در همان روز $\times$ تعداد سهام در روز مورد بررسی» برای تک‌تک شرکت‌هایی است که در بازار بورس قرار دارند. منظور از ارزش پایهٔ سهام، نیز مجموع حاصل ضرب‌های «ارزش سهام در روز پایه $\times$ تعداد سهام در روز بررسی» است. برای درک بهتر، به مثال زیر توجه کنید.

- فرض کنید در بازار بورس فقط دو شرکت $B$ و $A$ وجود داشته باشند. شاخص سهام کل بازار بورس مثلاً در تاریخ 12 بهمن 1396 به کمک اطلاعات جدول زیر قابل محاسبه است.

قیمت سهام شرکت در تاریخ پایه	تعداد سهام شرکت در زمان ورود به بورس (20 فروردین 1369)	شرکت
45	1000	$A$
30	500	$B$

$\Rightarrow$

قیمت سهام در 12 بهمن 1396	تعداد سهام شرکت در 12 بهمن 1396
60	1200
80	1500

$= \frac{{1200 \times 60 + 1500 \times 80}}{{1200 \times 45 + 1500 \times 30}} \times 100 =$ شاخص سهام کل

$\frac{{192,000}}{{99,000}} \times 100 = 1/93 \times 100 = 193$

عدد 193 به معنای 193 برابر شدن ارزش بازار در 12 بهمن 1396 نسبت به 20 فروردین 1369 است.

توجه داشته باشید که شاخص کل، واحد ندارد و این عدد به تنهایی سود یا ضرر را نشان نمی‌دهد بلکه تغییرات آن اهمیت دارد. برای مثال، اگر شما از سهام تمام شرکت‌های بورس یک سهم خریده باشید، در این صورت تغییرات شاخص کل بورس میزان بازدهی شماست؛ یعنی اگر شاخص کل بورس در یک سال از 2000 واحد به 3000 واحد برسد، یعنی % 50 رشد کند، میانگین بازدهی بورس طی یک سال برای شما % 50 بوده است.

در سال‌های پیش با مفهوم الگو و یافتن جملهٔ $n$ اُم یک الگو آشنا شدیم. عموماً این الگوها را نیز می‌توانیم به کمک تابعی با دامنهٔ اعداد طبیعی مدل‌سازی کنیم.

برای نوشتن جملات یک الگو در مثلث زیر 2، اعداد هر سطر را به‌صورت زیر با یکدیگر جمع می‌کنیم:

اگر $n$ شمارهٔ هر سطر و ${a_n}$ (جمله $n$ ام الگو) جمع اعداد هر سطر باشد:

الف) با محاسبهٔ مجموع اعداد سطر ششم و هفتم مثلث خیام، جملات ششم ( ${a_6}$ ) و هفتم ( ${a_7}$ ) الگو را مشخص کنید.

ب) بر اساس رابطهٔ میان ${a_1}$ و ${a_2}$ و رابطهٔ میان ${a_2}$ و ${a_3}$ و نیز ${a_3}$ و ${a_4}$ می‌توان مقادیر ${a_6}$ و ${a_5}$ را مشخص کرد؟ چگونه؟

ج) آیا به کمک قسمت ب، می‌توانیم رابطهٔ میان هر دو جملهٔ متوالی ${a_n}$ و ${a_{n + 1}}$ را مشخص کنیم؟ آیا با این رابطه فقط جملات الگوی بالا به‌دست می‌آید؟ چرا؟

د) رابطه‌ای را که بیانگر ارتباط جملات دنباله با یکدیگر است، رابطۀ بازگشتی می‌نامیم. برای دنبالهٔ اعداد بالا رابطه‌ای بازگشتی بنویسید که فقط جملات دنبالهٔ بالا را مشخص کند.

هـ) رابطه‌ای میان $n$ و ${a_n}$ بنویسید که جملات الگوی بالا را مشخص کند. ( $n \in {\Bbb N}$ )

و) رابطهٔ بازگشتی به‌دست آمده در قسمت «د» چه تفاوتی با ضابطهٔ به‌دست آمده از قسمت «ج» دارد؟

الگوی اعداد حقیقی، مانند بالا، را که در آن تعدادی عدد حقیقی پشت سر هم قرار دارند دنبالهٔ اعداد حقیقی می‌نامند. جملات دنباله عموماً به‌صورت ${a_1}\,,\,{a_2}\,,\,{a_3}\,,\,...\,,\,{a_n}\,,\,....$ نشان داده می‌شوند. ${a_n}$ را جمله $n$ اُم دنباله می‌نامند که می‌تواند به دو صورت زیر بیان شود:

الف) رابطه با جملات دیگر دنباله (رابطهٔ بازگشتی)

ب) رابطه‌ای برحسب $n \in {\Bbb N}$ (ضابطهٔ تابعی دنباله).

برای مثال، در دنبالهٔ

با در نظر گرفتن ${a_1} = 4$ بقیهٔ جملات دنباله با اضافه کردن عدد ثابت 3 به جملهٔ پیشین به‌دست می‌آیند؛ یعنی:

${a_{n + 1}} = {a_n} + 3$ (رابطهٔ بازگشتی دنباله)

و با می‌توان الگوی جملات دنباله را با ضابطهٔ ${a_n} = 3n + 1$ نمایش داد که در این رابطه، $n$ عددی طبیعی است و با جایگذاری در تساویِ داده شده، مقدار هر جمله به‌طور مستقیم به‌دست می‌آید.

تعریف دنباله: همان‌طور که مشاهده شد، اگر $a$ تابعی از ${\Bbb N} \to {\Bbb R}$ باشد اعضای بُرد این تابع می‌تواند دنباله‌ای از اعداد را تولید کند که به ترتیب، جملهٔ اول آن را $a(1)$ ، جملهٔ دوم را $a(2)$ ، جمله سوم را $a(3)$ ،... و جملهٔ $n$ اُم را $a(n)$ در نظر می‌گیریم.

معمولاً جملات دنباله را به جای $a(n)$ با ${a_n}$ نشان می‌دهند که آن را جملهٔ $n$ اُم، جمله عمومی دنباله یا ضابطهٔ دنباله می‌نامند.

با توجه به ضابطهٔ دنبالهٔ داده شده، جاهای خالی را پر کنید.

پنج جملۀ اول دنباله	جمله $n$ اُم
$1\,,\,4\,,\,7\,,\,10\,,\,13$	${a_n} = 3n - 2$
$0\,,\,3\,,\,8\,,\,...\,,\,24$	${b_n} = {n^2} - 1$
$.....\,,\,\frac{1}{2}\,,\,.....\,,\,.....\,,\,.....$	${c_n} = \frac{1}{n}$
$- 1\,,\,\frac{1}{2}\,,\, - \frac{1}{3}\,,\,.....\,,\,.....$	${d_n} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{n}$

مثال: برای جملات دنبالهٔ زیر:

... و 243 , 81 , 27 , 9 , 3

الف) رابطهٔ بازگشتی دنباله را مشخص کنید.
ب) ضابطهٔ تابعی دنباله را به‌دست آورید.

الف) برای نوشتن رابطهٔ بازگشتی در اوّلین دنباله، رابطهٔ میان جملات دنباله را بررسی می‌کنیم:

${a_4} = ....$ و ${a_3} = 3{a_2} = 3 \times 9 = 27$ و ${a_2} = 9 = 3{a_1}$ و ${a_1} = 3$

$\Rightarrow {a_{n + 1}} = 3{a_n}\,\,,\,\,{a_1} = 3$

یعنی، هر جملهٔ دنباله 3 برابر جملهٔ پیشین است. بدیهی است که تنها رابطهٔ ${a_{n + 1}} = 3{a_n}$ جملات دنباله را مشخص نمی‌کند و حتماً باید یک جمله، مثلاً جمله اول آن یعنی ${a_1} = 3$ نوشته شود.

ب) در نوشتن ضابطهٔ تابعی دنباله باید رابطهٔ میان ${a_n}\,,\,n$ را مشخص کنیم:

$n = 1 \to {a_1} = {3^1}$ اولین جمله
$n = 2 \to {a_2} = 9 = {3^2}$ دومین جمله
$n = 3 \to {a_3} = 27 = {3^3}$ سومین جمله

پس، ضابطهٔ تابع به‌صورت ${a_n} = {3^n}$ به‌دست می‌آید.

رسم نمودار دنباله

با توجه به تعریف دنباله به عنوان تابعی با دامنهٔ اعداد طبیعی، نمودار آنها را نیز می‌توان رسم کرد:

${a_n} = 2n - 1\,\,\,\,\,\,\,\,1\,,\,3\,,\,5\,,\,7\,,\,9\,,\,11\,,\,...$

${b_n} = 1 - n\,\,\,\,\,\,\,\,0\,,\, - 1\,,\, - 2\,,\, - 3\,,\, - 4\,,\,...$

${c_n} = {(n - 2)^2}\,\,\,\,\,\,\,\,1\,,\,0\,,\,1\,,\,4\,,\,...$

${d_n} = \frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}}}{n}\,\,\,\,\,\,\,\,1\,,\, - \frac{1}{2}\,,\,\frac{1}{3}\,,\, - \frac{1}{4}\,,\,...$

${e_n} = {3^n}$

${f_n} = {(\frac{1}{3})^n}$

جدول زیر را کامل کنید.

نمودار دنباله	ضابطهٔ دنباله	فرمول بازگشتی	جملات دنباله
	${a_n} = {3^{3 - n}}$	${a_{n + 1}} = \frac{1}{3}{a_n}$ ${a_1} = 9$	$9\,,\,3\,,\,1\,,\,\frac{1}{3}\,,\,\frac{1}{9}$
		${a_{n + 1}} = \frac{1}{3}{a_n}$ ${a_1} = 1$
	${a_n} = 2n + 1$
		${a_{n + 1}} = {a_n} + n$ ${a_1} = 1$
			$1\,,\, - \frac{1}{3}\,,\,\frac{1}{5}\,,\, - \frac{1}{7}\,,\,...$
			$- 1\,,\, - 4\,,\, - 9\,,\, - 16\,,\,...$
		${a_{n + 2}} = {a_{n + 1}} + {a_n}$ ${a_1} = {a_2} = 1$

1) برای محاسبهٔ قبض آب (آب‌بها) هر واحد مسکونی در شهر تهران ابتدا میانگین مصرف هر واحد مسکونی محاسبه می‌شود و بر اساس آن «طبقهٔ مصرف» واحد مسکونی با توجه به «جدول 1» تعیین می‌گردد. آنگاه به کمک رابطهٔ زیر، آب بها محاسبه می‌شود:

هزینهٔ هر متر مکعب با توجه به طبقهٔ مصرف $\times$ میانگین مصرف = آب‌بها

جدول 1- محاسبۀ آب‌بها بر اساس طبقات مصرف در استان تهران
هزینه (ریال)	طبقات مصرف (متر مکعب)
1/419	$0 \leqslant x < 5$
2/123	$5 \leqslant x < 10$
2/827	$10 \leqslant x < 15$
3/703	$15 \leqslant x < 20$
5/400	$20 \leqslant x < 25$
8/496	$25 \leqslant x < 30$
11/580	$30 \leqslant x < 35$
15/444	$35 \leqslant x < 40$
33/462	$40 \leqslant x < 50$
66/924	$x \geqslant 50$

الف) نمودار «طبقه مصرف - آب‌بها» جدول بالا را رسم کنید و ضابطه و دامنه و برد تابع را به‌دست آورید.

ب) اگر میانگین مصرف یک واحد مسکونی در تهران در یک ماه $20/49{m^3}$ باشد، سطح زیر منحنی نمودار چه تابعی، آب‌بها را مشخص می‌کند؟

2) اگر تابع $f$ مدل ریاضی هرکدام از مسائل زیر باشد، دامنهٔ هرکدام از آنها را مشخص کنید.

الف) کاهش دمای هوا با دور شدن از سطح زمین تا ارتفاع 15 کیلومتر