یادآوری

در پایه‌های قبل با مفهوم احتمال و برخی تعاریف مرتبط با آن آشنا شده‌اید. در زیر خلاصه‌ای از این مطالب آورده شده است.

1- پدیده تصادفی: پدیده یا آزمایشی است که نتیجهٔ آن را نتوان قبل از انجام، به‌طور قطعی پیش‌بینی کرد.

2- فضای نمونه: مجموعهٔ تمام نتایج ممکنِ یک پدیدهٔ تصادفی را فضای نمونهٔ آن پدیده می‌نامیم و معمولاً آن را با$S$ نمایش می‌دهیم.

3- پیشامد تصادفی: هر زیر مجموعه از $S$ را یک پیشامد تصادفی در فضای نمونه‌ای $S$ می‌نامیم.

4- پیشامدها و اعمال روی آنها: فرض کنیم $A$ و $B$ پیشامدهایی از فضای نمونه‌ای $S$ باشند.
الف) اجتماع دو پیشامد: پیشامد $A \cup B$ وقتی رخ می‌دهد که حداقل یکی از پیشامدهای $A$ یا $B$ رخ دهد.
ب) اشتراک دو پیشامد: پیشامد $A \cap B$ وقتی رخ می‌دهد که هر دو پیشامد $A$ یا $B$ رخ دهد.
پ) تفاضل دو پیشامد: پیشامد $A - B$ وقتی رخ می‌دهد که پیشامد $A$ رخ دهد، ولی پیشامد $B$ رخ ندهد.
ت) متمم یک پیشامد: پیشامد $A'$ (یا ${A^c}$) وقتی رخ می‌دهد که پیشامد $A$ رخ ندهد.

$P(A') = 1 - P(A)$

5- رابطهٔ محاسبهٔ احتمال وقوع یک پیشامد:

6- رابطهٔ محاسبهٔ احتمال اجتماع دو پیشامد $A$ و $B$:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

7- پیشامدهای ناسازگار: دو پیشامد $A$ و $B$ را ناسازگار می‌گوییم، هرگاه $A$ و $B$ با هم رخ ندهند؛ به بیان دیگر $A \cap B = \emptyset$ در این صورت داریم:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

8- تعمیم پیشامدهای ناسازگار: پیشامدهای ${A_1}$ و ${A_2}$ و ... و ${A_n}$ را دو به دو ناسازگار گوییم، هرگاه هیچ دوتایی از آنها نتوانند با هم رخ دهند. در این صورت داریم:

$P({A_1} \cup {A_2} \cup .... \cup {A_n}) = P({A_1}) + P({A_2}) + .... + P({A_n})$

9- احتمال شرطی: منظور از «احتمال $A$ به شرط $B$» که آن را با $P(A|B)$ نمایش می‌دهیم، احتمال وقوع پیشامد $A$ است، به شرط آنکه بدانیم پیشامد $B$ رخ داده است و داریم:

$P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(P(B) \ne 0)$

10- پیشامدهای مستقل: دو پیشامد $A$ و $B$ از هم مستقل‌اند هرگاه وقوع هر یک بر احتمال وقوع دیگری تأثیر نداشته باشد. مستقل بودن دو پیشامد $A$ و $B$ معادل است با اینکه $P(A \cap B) = P(A).P(B)$.

قانون احتمال کل

- افراز فرض کنیم ${A_1}$ و ${A_2}$ و .... و ${A_n}$ زیر مجموعه‌هایی ناتهی از مجموعهٔ $S$ باشند، به گونه‌ای که اجتماع همهٔ آنها برابر $S$، و اشتراک هر دوتای آنها برابر $\emptyset$ باشد، در این صورت می‌گوییم این مجموعه‌ها یک افراز روی $S$ درست کرده‌اند. به عبارتی داریم:

${A_1} \cup {A_2} \cup .... \cup {A_n} = S\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\mathop  \cup \limits_{i = 1}^n {A_i} = S)$ (1

${A_1} \cap {A_2} \cap  = \emptyset \,,\,{A_1} \cap {A_3} = \emptyset \,,\,....\,,\,{A_{n - 1}} \cap {A_n} = \emptyset \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,({A_i} \cap A{ \cap _j} = \emptyset \,\,\,,\,\,\,1 \leqslant i,\mathop j\limits_{i \ne j}  \leqslant n)$ (2

مثال: کشور ایران به 31 استان افراز شده است.

مثال: اگر $A$ مجموعهٔ اعداد طبیعی اول و $B$ مجموعهٔ اعداد طبیعی مرکب و $C = \left\{ 1 \right\}$ باشند، در این صورت $B,A$ و $C$ یک افراز روی مجموعهٔ اعداد طبیعی هستند.

مثال: مجموعهٔ اعداد گویا و مجموعهٔ اعداد اصم یک افراز روی مجموعهٔ اعداد حقیقی تشکیل می‌دهند.

سؤال: اگر $S$ فضای نمونه‌ای یک پدیده تصادفی باشد و $....,{A_2},{A_1}$ و ${A_n}$ مانند آنچه گفته شد یک‌افراز روی $S$ درست کنند. آیا پیشامدهای $...,{A_2},{A_1}$ و ${A_n}$ دو به دو ناسازگاراند؟ چرا؟ آیا امکان دارد هیچ‌کدام از پیشامدهای $...,{A_2},{A_1}$ و ${A_n}$ اتفاق نیفتند؟

فرض کنید پیشامدهای ${A_4},{A_3},{A_2},{A_1}$ و ${A_5}$ مانند شکل زیر یک افراز روی فضای نمونه‌ای $S$ درست کرده باشند و $B$ یک پیشامد دلخواه باشد. در این صورت داریم:

$B = (B \cap {A_1}) \cup (B \cap {A_2}) \cup (B \cap {A_3}) \cup (B \cap {A_4}) \cup (B \cap {A_5})$

که در آن $B \cap {A_i}$ و $B \cap {A_j}$ برای هر $i \ne j$ ناسازگاراند. چرا؟

بنابراین داریم:

$P(B) = P(B \cap {A_1}) + P(B \cap {A_2}) + P(B \cap {A_3}) + P(B \cap {A_4}) + P(B \cap {A_5}) = \sum\limits_{i = 1}^5 {P(B \cap {A_i})}$

اما از آنچه در احتمال شرطی مشاهده کردیم داریم:

$P(B|{A_i}) = \frac{{P(B \cap {A_i})}}{{P({A_i})}} \Rightarrow P(B \cap {A_i}) = P({A_i})P(B|{A_i})$

و بنابراین رابطهٔ پرکاربرد زیر حاصل خواهد شد:

$P(B) = \sum\limits_{i = 1}^5 {P({A_i})P(B|{A_i})}$

مثال: اگر احتمال انتقال نوعی بیماری خاص به نوزاد پسر 0/08 و نوزاد دختر 0/03 باشد و خانواده‌ای قصد بچه‌دار شدن داشته باشد، به چه احتمالی نوزاد آنها به بیماری مذکور مبتلا خواهد شد؟

قبل از اینکه مسئلهٔ فوق را حل کنیم فرض کنید یکی از اعداد زیر جواب مسئلهٔ فوق است. حدس بزنید کدام عدد می‌تواند جواب باشد؟ برای رد کردن گزینه‌هایی که فکر می‌کنید نادرست‌اند، دلیل بیاورید.

1      0/09      0/08      0/055      0/03      0/01      0

حل:

از آنجا که در ابتدا نسبت نوزادان بیمار به کل نوزادان را نداریم، لذا نمی‌توانیم به‌طور مستقیم احتمال مورد نظر را محاسبه نماییم. اما می‌دانیم نسبت نوزادان پسر بیمار به کل نوزادان پسر برابر $\frac{8}{{100}}$ و همین نسبت برای نوزادان دختر $\frac{3}{{100}}$ است و احتمال پسر (دختر) بودن نوزاد نیز $\frac{1}{2}$ است. بنابراین با توجه به قانون احتمال کل خواهیم داشت:

(دختر بودن | بیمار بودن) $P$. (دختر بودن) $P$ + (پسر بودن | بیمار بودن) $P$. (پسر بودن) $P$ = (بیمار بودن) $P$

و اگر پیشامد پسر بودن را با $B$ و دختر بودن را با $G$ و بیمار بودن را با $R$ نمایش دهیم داریم:

$P(R) = P(B)P(R|B) + P(G)P(R|G) = \frac{1}{2} \times \frac{8}{{100}} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{{100}} = \frac{{11}}{{200}}$

برای حل این مثال می‌توان از نمودار درختی نیز استفاده کرد. به نمودار درختی زیر دقت کنید و علت نوشتن هر عدد و راه حل ارائه شده را شرح دهید.

$= \frac{1}{2} \times 0/08 + \frac{1}{2} \times 0/03$ احتمال بیمار بودن $\Rightarrow$

مثال: 4 ظرف یکسان داریم. در اولین ظرف 14 مهره قرار دارد که 4 تای آنها قرمز است. در ظرف دوم همه مهره‌ها قرمزند. در ظرف سوم 8 مهره قرار دارد که 6 تای آنها قرمزند و در ظرف چهارم هیچ مهرهٔ قرمزی وجود ندارد. با چشم بسته یکی از ظرف‌ها را انتخاب کرده و از آن یک مهره بیرون می‌آوریم. احتمال اینکه مهرهٔ انتخابی قرمز باشد چقدر است؟

حل: پیشامد انتخاب ظرف‌ها را به ترتیب با ${A_3},{A_2},{A_1}$ و ${A_4}$ و پیشامد خارج شدن مهرهٔ قرمز را با $B$ نمایش می‌دهیم. بنابراین به دنبال یافتن $P(B)$ هستیم و داریم:

$P({A_1}) = P({A_2}) = P({A_3}) = P({A_4}) = \frac{1}{4}$

$P(B|{A_1}) = \frac{4}{{14}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P(B|{A_2}) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P(B|{A_3}) = \frac{6}{8}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P(B|{A_4}) = 0$

$P(B) = P({A_1})P(B|{A_1}) + P({A_2})P(B|{A_2}) + P({A_3})P(B|{A_3}) + P({A_4})P(B|{A_4})$

$= \frac{1}{4} \times \frac{4}{{14}} + \frac{1}{4} \times 1 + \frac{1}{4} \times \frac{6}{8} + \frac{1}{4} \times 0 = \frac{{57}}{{112}}$

با نمودار درختی به‌صورت زیر نیز می‌توان مسئله را حل کرد:

مثال: سامان در یک مسابقه شرکت کرده است. سه بسته سؤال که یکی شامل سؤال‌های ادبیات، یکی ریاضی و یکی اطلاعات عمومی است، وجود دارد. اگر بستهٔ سؤال‌های ادبیات را به او بدهند، به احتمال 90 درصد برنده خواهد شد. اگر بستهٔ سؤال‌های ریاضی را به او بدهند، به احتمال 60 درصد و اگر بستهٔ سؤال‌های اطلاعات عمومی را به او بدهند، به احتمال 85 درصد برنده خواهد شد. در صورتی که با چرخاندن عقربهٔ چرخان در شکل زیر نوع سؤال‌هایی که به او داده می‌شود مشخص شود تعیین کنید او به چه احتمالی برنده خواهد شد؟

حل: اگر انتخاب ادبیات، ریاضی و اطلاعات عمومی را به ترتیب با ${A_2},{A_1}$ و ${A_3}$ و برنده شدن سامان را با $B$ نمایش دهیم، خواهیم داشت:

$P(B) = P({A_1})P(B|{A_1}) + P({A_2})P(B|{A_2}) + P({A_3})P(B|{A_3})$

$= \frac{1}{2} \times \frac{{90}}{{100}} + \frac{1}{6} \times \frac{{60}}{{100}} + \frac{1}{3} \times \frac{{85}}{{100}} = \frac{5}{6}$

مثال: دو ظرف یکسان داریم. ظرف اول شامل 6 مهرهٔ سبز و 4 مهرهٔ آبی و ظرف دوم شامل 5 مهرهٔ سبز و 7 مهرهٔ آبی است. از ظرف اول به تصادف یک مهره انتخاب کرده، در ظرف دوم قرار می‌دهیم. سپس یک مهره از ظرف دوم انتخاب می‌کنیم. به چه احتمالی این مهره سبز است؟

حل: مهرهٔ انتخاب شده از ظرف اول یا سبز است و یا آبی. اگر این پیشامدها را به ترتیب با $G$ و $B$ و پیشامد انتخاب مهرهٔ سبز از ظرف دوم را با $A$ نمایش دهیم خواهیم داشت: $P(B) = \frac{4}{{10}}$ و $P(G) = \frac{6}{{10}}$ و $P(A|G) = \frac{6}{{13}}$ (چرا؟) و $P(A|B) = \frac{5}{{13}}$ (چرا؟). در این صورت داریم:

$P(A) = P(G)P(A|G) + P(B)P(A|B) = \frac{6}{{10}} \times \frac{6}{{13}} + \frac{4}{{10}} \times \frac{5}{{13}} = \frac{{56}}{{130}}$