با مفهوم سرعت متوسط در فیزیک آشنا شده‌اید. اگر اتومبیلی در امتداد خط راست مسافت 280 کیلومتر را در 4 ساعت طی کند سرعت متوسط آن در این زمان $\frac{{280}}{4} = 70$ کیلومتر بر ساعت است. با این حال ممکن است اتومبیل در لحظات مختلف سرعت‌های متفاوتی داشته باشد. همچنین مطابق آنچه که در درس فیزیک آموخته‌اید، سرعت متوسط روی یک بازه زمانی خیلی کوچک، به سرعت لحظه‌ای نزدیک است. اگر نمودار مکان - زمان در مورد حرکت اتومبیل را داشته باشیم، سرعت متوسط اتومبیل بین هر دو لحظه دلخواه، برابر شیب خطی است که نمودار مکان - زمان را در آن دو لحظه قطع می‌کند.

همچنین در درس فیزیک سرعت لحظه‌ای در هر لحظه دلخواه $t$، برابر شیب خط مماس بر نمودار در آن لحظه تعریف شد. با آنچه که در درس‌های گذشته ملاحظه کردید، می‌توان گفت که سرعت در لحظه $t$ همان مقدار مشتق تابع (مکان - زمان) در لحظه $t$ است. مفهوم مشتق را در بسیاری از پدیده‌های دیگر نیز می‌توان مشاهده کرد. ابتدا در مورد سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای به ذکر مثالی خواهیم پرداخت.

مثال: خودرویی در امتداد خط راست طبق معادله $d(t) =  - 5{t^2} + 20t$ حرکت می‌کند، که در آن $0 \leqslant t \leqslant 5$ برحسب ثانیه است. با در نظر گرفتن نمودار مکان - زمان (شکل):

الف) سرعت متوسط خودرو را در بازه‌های زمانی $\left[ {1,2} \right]$، $\left[ {1,1/5} \right]$ و $\left[ {1,1/4} \right]$ به‌دست آورید.

ب) اگر به همین ترتیب بازه‌های کوچک‌تری مانند $\left[ {1,1/3} \right]$ و $\left[ {1,1/2} \right]$ و... اختیار کنیم، سرعت متوسط در این بازه‌ها به چه عددی نزدیک می‌شود؟

پ) سرعت لحظه‌ای را با استفاده از مشتق تابع $d$ در $t = 1$ به‌دست آورید.

ت) سرعت لحظه‌ای در $t = 2$ و $t = 3$ چقدر است؟

حل:

الف)

$= \frac{{d(2) - d(1)}}{{2 - 1}} = \frac{{20 - 15}}{1} = 5\frac{m}{s}$ سرعت متوسط در بازه زمانی $\left[ {1,2} \right]$

$= \frac{{d(1/5) - d(1)}}{{1/5 - 1}} = \frac{{18/75 - 15}}{{0/5}} = \frac{{3/75}}{{0/5}} = 7/5\frac{m}{s}$ سرعت متوسط در بازه زمانی $\left[ {1,1/5} \right]$

$= \frac{{d(1/4) - d(1)}}{{1/4 - 1}} = \frac{{18/2 - 15}}{{0/4}} = \frac{{3/2}}{{0/4}} = 8\frac{m}{s}$ سرعت متوسط در بازه زمانی $\left[ {1,1/4} \right]$

ب) اگر به همین ترتیب بازه‌های زمانی کوچک‌تری اختیار کنیم، سرعت متوسط به سرعت لحظه‌ای در $t = 1$ نزدیک می‌شود.

پ) $d'(t) =  - 10t + 20$، پس  $,$   $d'(1) = 10$

ت) $d'(2) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,d'(3) =  - 10$

سرعت در لحظه $t = 2$، صفر است و مماس بر منحنی در این نقطه موازی محور $x$هاست و خودرو ساکن است. مقدار سرعت در لحظه‌های $t = 1$ و $t = 3$ برابر است و علامت منفی در مورد $d'(3)$ نشان می‌دهد که جهت حرکت در $t = 3$ برخلاف جهت حرکت در $t = 1$ است.

به جز مفهوم سرعت، در مطالعه پدیده‌های زیاد دیگری که در قالب یک تابع نمایش داده می‌شوند با موضوع نسبت تغییرات متغیر وابسته به تغییرات متغیر مستقل مواجه می‌شویم. نسبت تغییرات دما به تغییرات زمان و همچنین نسبت تغییرات جمعیت نسبت به زمان نمونه‌های دیگری از اینگونه تغییرات هستند.

کاربردهایی دیگر از آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه ای تغییر

آهنگ رشد: تابع $f(x) = 7\sqrt x  + 50$ قد متوسط کودکان را برحسب سانتی‌متر تا حدود 60 ماهگی نشان می‌دهد، که در آن $x$ مدت زمان پس از تولد (برحسب ماه) است. به‌طور مثال $f(25) = 85$

آهنگ متوسط رشد در بازه زمانی $\left[ {0,60} \right]$ چنین است:

$\frac{{f(60) - f(0)}}{{60 - 0}} = \frac{{7\sqrt {60}  + 50 - 50}}{{60}} \approx 0/9$

یعنی در طی 5 سال، رشد متوسط قد حدود 0/9 سانتی‌متر در هر ماه است.

نرخ باروری: نمودار زیر روند رو به کاهش نرخ باروری در کشورمان را در طی نیم قرن نمایش می‌دهد. آهنگ متوسط تغییر باروری در بازه زمانی $\left[ {1339,1389} \right]$ در مدت 50 سال برابر است با:

$\frac{{1/6 - 7}}{{1389 - 1339}} = \frac{{ - 5/4}}{{50}} =  - 0/108$

آهنگ متوسط تغییر باروری در بازه زمانی $\left[ {1364,1379} \right]$ را به‌دست آورید. (با استفاده از مقادیر تقریبی روی نمودار) بازه زمانی را مشخص کنید که در آن آهنگ متوسط تغییر باروری مثبت باشد.

سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای

مثال: جسمی را از سطح زمین به‌طور عمودی پرتاب می‌کنیم. جهت حرکت به‌طرف بالا را مثبت در نظر می‌گیریم. فرض کنیم ارتفاع این جسم از سطح زمین در هر لحظه از معادله $h(t) =  - 5{t^2} + 40t$ به‌دست می‌آید. به‌طور مثال 2 ثانیه پس از پرتاب این جسم در ارتفاع 60 متری از سطح زمین است.

به هر حال جسم پس از مدتی به زمین برمی‌گردد. نمودار مکان - زمان حرکت این جسم در شکل نشان داده شده است.

اگر سرعت متوسط این جسم در بازه‌های زمانی $\left[ {3,4} \right],\left[ {2,3} \right],\left[ {1,2} \right],\left[ {0,2} \right]$ را به ترتیب با ${v_3},{v_2},{v_1}$ و ${v_4}$ نمایش دهیم، داریم:

${v_1} = \frac{{h(2) - h(0)}}{{2 - 0}} = \frac{{60}}{2} = 30m/s$

${v_2} = \frac{{h(2) - h(1)}}{{2 - 1}} = 25m/s$

${v_3} = \frac{{h(3) - h(2)}}{{3 - 2}} = \frac{{75 - 60}}{1} = 15m/s$

${v_4} = \frac{{h(4) - h(3)}}{{4 - 3}} = \frac{{80 - 75}}{1} = 5m/s$

سرعت لحظه‌ای در زمان‌های $t = 1$، $t = 2$، $t = 3$ و $t = 4$ با استفاده از مشتق تابع $h$ چنین به‌دست می‌آید:

$h(t) =  - 5{t^2} + 40t \Rightarrow h'(t) =  - 10t + 40$

$h'(1) = 30m/s\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,h'(2) = 20m/s\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,h'(3) = 10m/s\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,h'(4) = 0m/s$

در $t = 4$ جسم به بالاترین ارتفاع خود از سطح زمین (80 متر) می‌رسد و در این لحظه سرعت آن برابر صفر (متر بر ثانیه) می‌شود. سپس جسم شروع به حرکت به طرف زمین می‌کند. سرعت متوسط در بازه $\left[ {4,5} \right]$ برابر $\frac{{h(5) - h(4)}}{{5 - 4}} = \frac{{75 - 80}}{1} =  - 5m/s$ و سرعت لحظه‌ای در $t = 5$ برابر $h'(5) =  - 10m/s$ است. علامت منفی نشان می‌دهد که حرکت جسم رو به پایین است.