مقدمه

آمار توصیفی به خلاصه‌سازی داده‌ها در قالب نمودار، جدول و یا شاخص‌هایی در قالب معیارهای گرایش به مرکز و معیارهای پراکندگی که در ادامه با آنها آشنا خواهید شد، می‌پردازد. آمار توصیفی اطلاعاتی از چگونگی داده‌های جمع‌آوری شده فراهم می‌آورد که بسیار مفید است.

معیارهای گرایش به مرکز

معمولاً سعی می‌شود، دانسته‌های نهفته در داده‌ها را به‌صورت یک یا چند عدد شاخص درآورد، تا بتوان هم اندیشهٔ کلی درباره ویژگی مورد مطالعه به‌دست آورد و هم نتیجه مطالعات را به‌سادگی گزارش کرد. میانگین و میانه به‌عنوان معیارهای گرایش به مرکز در این کتاب معرفی می‌شوند.

میانگین

میانگین ساده‌ترین و در عین حال پرکاربردترین معیار گرایش به مرکز است که در پایهٔ هشتم با آن آشنا شده‌اید.

میانگین متوسط یا مرکز ثقل داده‌هاست که آن را با $\overline X$ نشان می‌دهیم و برابر است با:

$\overline X = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_N}}}{N}$

که در آن ${x_i}$ داده‌ها و $N$ برابر با تعداد کل داده‌ها است.

محمد، جرم 5 نفر از دوستان خود را پرسید و آنها را در جدول زیر یادداشت کرد. سپس میانگین جرم دوستان خود را حساب کرد:

دوست	رضا	نیما	سام	احمد	علی
جرم (کیلوگرم)	55	61	57	55	62

نحوۀ محاسبه میانگین

1) محمد ابتدا مجموع جرم دوستان خود را محاسبه کرد:
2) سپس عدد حاصل را بر عدد 5 (تعداد دوستان) تقسیم کرد:

میانگین جرم دوستان محمد برابر است با ……… .

ویژگی‌های میانگین

اگر هر یک از داده‌های آماری با مقدار ثابتی جمع شود، میانگین آنها نیز با همان مقدار ثابت جمع خواهد شد. چرا؟
اگر هر یک از داده‌های آماری در مقدار ثابتی ضرب شود، میانگین آنها نیز در همان مقدار ثابت ضرب خواهد شد. چرا؟

1) در فعالیت قبل، میانگین جرم دوستان محمد چند گرم است؟

2) هوای اهواز در هر ساعت از یک روز بهاری گزارش شد. اگر میانگین دمای هوا 28 درجهٔ سانتی‌گراد باشد، میانگین دمای هوا چند درجهٔ فارنهایت است؟ (راهنمایی $F = \frac{9}{5}C + 32$ )

میانه

پس از مرتب کردن داده‌ها، مقداری را که تعداد داده‌های بعد از آن با تعداد داده‌های قبل از آن برابر است میانه می‌نامیم و آن را با

Q_{2}

${Q_2}$ نمایش می‌دهیم.

مثال: در فعالیت قبل، میانهٔ داده‌ها کدام است؟

محمد برای پاسخ به این سؤال:
الف) داده‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب کرد:

62 61 57 55 55

ب) جرم رضا و احمد از سام کمتر است. در حالی که جرم علی و نیما از سام بیشتر است.

در مثال فوق، عدد 57 را میانهٔ داده‌ها می‌نامند، زیرا پس از مرتب کردن داده‌ها از کوچک به بزرگ، در وسط داده‌ها قرار می‌گیرد.

مثال: اعداد زیر نمره‌های درس ریاضی سمیرا در طول یک سال است.

- میانگین و میانهٔ نمره‌های او را حساب کنید.

5 20 18 18 17 19

الف) محاسبهٔ میانگین

$\overline X = \frac{{19 + 17 + 18 + 18 + 20 + 5}}{6} \simeq 16/17$

ب) محاسبهٔ میانه

$5,17,\underline {18,18} ,19,20$

${Q_2} = \frac{{18 + 18}}{2} = 18$

پ) به نظر شما کدام معیار توانایی دانش‌آموز در این درس را بهتر ارزیابی می‌کند؟ چرا؟

میانگین داده‌ها تحت تأثیر داده‌های خیلی بزرگ یا خیلی کوچک که در آمار به آنها داده‌های دورافتاده می‌گوییم، قرار می‌گیرد. درصورتی که میانهٔ داده‌ها تحت تأثیر داده‌های دور افتاده قرار نمی‌گیرد. بنابراین در صورت وجود دادهٔ دورافتاده، از میانه استفاده می‌کنیم در غیر این صورت از میانگین استفاده خواهیم کرد.

داده‌های زیر مربوط به تعداد ضربان قلب 12 دانش‌آموز پایهٔ یازدهم، قبل از یک مسابقهٔ دو است.

86 97 92 89 101 98 98 105 75 82 91 100

- میانهٔ داده‌ها را مشخص کنید.
- میانگین داده‌ها را مشخص کنید.

معیارهای پراکندگی

میانه و میانگین اطلاعاتی پیرامون مرکز داده‌ها در اختیار ما قرار می‌دهند. گاه در توصیف داده‌ها لازم است از چگونگی پراکندگی آنها نیز اطلاعی داشته باشیم. در این درس با دامنهٔ تغییرات، واریانس، انحراف معیار، چارک اول و چارک سوم به‌عنوان معیارهای پراکندگی آشنا خواهیم شد.

نمرهٔ درس ریاضی دانش‌آموزان دو کلاس $A$ و $B$ ، به تفکیک گزارش شده است:

12	11	10	9	8	$A$
20	15	10	5	0	$B$

الف) میانهٔ نمرهٔ این دو کلاس را محاسبه کنید.

ب) میانگین نمرهٔ این دو کلاس را محاسبه کنید.

پ) به نظر شما یک معلم ریاضی ترجیح می‌دهد در کدام کلاس تدریس کند؟ چرا؟

همان‌طور که در فعالیت می‌بینید، تنها توجه به معیارهای گرایش به مرکز نمی‌تواند اطلاعات کاملی از داده‌ها در اختیار ما قرار دهد و لازم است به چگونگی پراکندگی داده‌ها نیز توجه شود.

دامنۀ تغییرات

دامنهٔ تغییرات ساده‌ترین شاخص پراکندگی است که اختلاف بین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده‌ها را نشان می‌دهد و آن را با نماد

R

$R$ نمایش می‌دهیم.

مثال: در فعالیت بالا برای محاسبهٔ دامنهٔ تغییرات نمره ریاضی کلاس $A$ و کلاس $B$ به‌صورت زیر عمل کنید:

	کلاس $B$	کلاس $A$
کوچک‌ترین داده	0	8
بزرگ‌ترین داده	20	12
دامنه تغییرات	20=20-0	4=12-8

در فعالیت بالا دامنهٔ تغییرات نمرهٔ ریاضی کلاس $A$ ، 4 نمره و دامنهٔ تغییرات نمرهٔ ریاضی کلاس $B$ ، 20 نمره است. ملاحظه می‌شود که در کلاس $A$ پراکندگی داده‌ها کمتر از کلاس $B$ است.

معلم از 7 نفر از دانش‌آموزان خواست تا تعداد کتاب‌های غیردرسی را که در طول تابستان گذشته مطالعه کرده‌اند، گزارش کنند.

الف) دامنه تغییرات آنها را محاسبه کنید.

1 4 14 12 9 8 15

ب) دو دانش‌آموز دیگر به جمع آنها اضافه شدند و آنها نیز تعداد کتاب‌های غیردرسی را که در طول تابستان گذشته مطالعه کرده بودند، به ترتیب 5 و 11 اعلام کردند. مجدداً دامنهٔ تغییرات این 9 داده را محاسبه کنید.

پ) از مقایسهٔ پاسخ الف و ب چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

همان‌طور که می‌بینید، دامنهٔ تغییرات تنها به بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده‌ها وابسته است و با تغییر تعداد و مقدار داده‌های میانی، مقدار آن تغییر نخواهد کرد. پس این معیار نمی‌تواند بیانگر خوبی برای پراکندگی داده‌ها باشد.

واریانس

می‌خواهیم شاخص بهتری برای بیان پراکندگی داده‌ها پیدا کنیم. از آنجا که میانگین، معیاری برای مرکز داده‌ها است، شاخصی که بیانگر اختلاف داده‌ها از میانگین باشد و معایب وارد بر دامنه تغییرات را برطرف سازد، می‌تواند شاخص بهتری برای بیان پراکندگی داده‌ها باشد.

الف) در ادامهٔ فعالیت قبل اختلاف از میانگین را برای نمره‌های ریاضی کلاس $A$ و $B$ به کمک جدول زیر محاسبه کنید.

کلاس $B$		کلاس $A$
$({y_i} - \overline Y)$	${y_i}$	$({x_i} - \overline X)$	${x_i}$
	0		8
	5		9
	10		10
	15		11
	20		12

ب) مجموع اختلاف داده‌ها از میانگین را برای هر کلاس محاسبه کنید.

در هر دو کلاس، مجموع اختلاف داده‌ها از میانگین داده‌ها صفر شد. با مراجعه به تعریف میانگین، بدیهی است این نتیجه اتفاقی نبوده است.

همواره برای هرمجموع‌های از داده‌ها، مجموع اختلاف داده‌ها از میانگین صفر خواهد شد.

بنابراین برای ساختن شاخصی که پراکندگی حول میانگین را نشان دهد، باید از قدرمطلق اختلاف داده‌ها از میانگین یا از مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین استفاده کرد. استفاده از مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین متداول‌تر است.

الف) مجذور اختلاف از میانگین برای نمره‌های ریاضی کلاس $A$ و $B$ را به کمک جدول زیر محاسبه کنید.

کلاس $B$			کلاس $A$
${({y_i} - \overline Y)^2}$	$({y_i} - \overline Y)$	${y_i}$	${({x_i} - \overline X)^2}$	$({x_i} - \overline X)$	${x_i}$
		0			8
		5			9
		10			10
		15			11
		20			12

ب) مجموع مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین را برای هر کلاس محاسبه کنید.

${(8 - 10)^2} + .... + {(12 - 10)^2} =$	مجموع مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین برای کلاس $A$
${(0 - 10)^2} + .... + {(20 - 10)^2} =$	مجموع مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین برای کلاس $B$

پ) میانگین مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین را برای هر کلاس محاسبه و مقایسه کنید.

$\frac{{{{(8 - 10)}^2} + .... + {{(12 - 10)}^2}}}{5} =$	میانگین مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین برای کلاس $A$
$\frac{{{{(0 - 10)}^2} + .... + {{(20 - 10)}^2}}}{5} =$	میانگین مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین برای کلاس $B$

میانگین مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین آنها را واریانس می‌نامند و از نماد

σ^{2}

${\sigma ^2}$ برای نمایش آن استفاده می‌شود:

σ^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{X})}^{2} + . . . . + {(x_{N} - \bar{X})}^{2}}{N}

${\sigma ^2} = \frac{{{{({x_1} - \overline X)}^2} + .... + {{({x_N} - \overline X)}^2}}}{N}$

تذکر: واحد واریانس برابر با توان دوم واحد دادهٔ مورد نظر است.

همان‌طور که در فعالیت قبل دیده می‌شود، واریانس بزرگ (کلاس $B$ ) نشان دهندهٔ دور بودن داده‌ها از میانگین آنها و واریانس کوچک (کلاس $A$ ) نشان دهندهٔ نزدیکی داده‌ها به میانگین آنهاست. چنانچه همهٔ داده‌ها با هم برابر باشند، واریانس آنها صفر خواهد بود. بنابراین واریانس معیار خوبی برای سنجش پراکندگی و تغییرپذیری داده‌ها نسبت به میانگین است.

واریانس تعداد کتاب‌های غیردرسی مطالعه شده در «کار در کلاس» قبل، توسط 7 و 9 دانش‌آموز را محاسبه کنید.

واریانس	دامنهٔ تغییرات	تعداد کتاب‌های مطالعه شده توسط هر دانش‌آموز
	14	1	4	14		12	8		8	15
	14	11	5	1	4	14	12	8	8	15

همان‌طور که در این «کار در کلاس»، دیده می‌شود، واریانس برخلاف دامنهٔ تغییرات، با تغییر تعداد و مقادیر داده‌ها تغییر می‌کند.

ویژگی های واریانس

اگر هر یک از داده‌های آماری با مقدار ثابتی جمع شود، واریانس آنها تغییر نخواهد کرد. چرا؟
اگر هر یک از داده‌های آماری در مقدار ثابتی ضرب شود، واریانس آنها در مجذور همان مقدار ثابت ضرب خواهد شد. چرا؟

1) در اولین فعالیت، واریانس جرم دوستان محمد چند گرم به توان دو است؟

2) هوای اهواز در هر ساعت از یک روز بهاری گزارش شد. اگر واریانس دمای هوا 6 درجهٔ سانتی‌گراد به توان دو باشد، واریانس دمای هوا چند درجهٔ فارنهایت به توان دو است؟ (راهنمایی $F = \frac{9}{5}C + 32$ )

انحراف معیار

معیارهای گرایش به مرکز و پراکندگی فعالیت قبل در جدول زیر آمده است.

جذر واریانس	واریانس	دامنهٔ تغییرات	میانه	میانگین
1/6	2	4	10	10	کلاس $A$
7/9	50	20	10	10	کلاس $B$

همان‌طور که در جدول و نمودار بالا دیده می‌شود، واریانس پراکندگی حول میانگین را بیشتر از حد انتظار نشان می‌دهد ؛ زیرا در محاسبهٔ واریانس از میانگین مجذور اختلاف از میانگین داده‌ها استفاده می‌شود. درحالی که جذر واریانس شاخص بهتری برای پراکندگی حول میانگین داده‌ها است.

جذر واریانس را انحراف معیار می‌نامند و آن را با نماد $\sigma$ نمایش می‌دهند:

$\sigma = \sqrt {\frac{{{{({x_1} - \overline X)}^2} + .... + {{({x_N} - \overline X)}^2}}}{N}}$

برای گزارش پراکندگی، کدام شاخص را ترجیح می‌دهید؟ چرا؟

مجدداً این سؤال را مطرح می‌کنیم که در این فعالیت، به نظر شما یک معلم ریاضی ترجیح می‌دهد در کدام کلاس تدریس کند؟ چرا؟

ضریب تغییرات

ضریب تغییرات که با $cv$ نمایش داده می‌شود، نسبت انحراف معیار به میانگین $(cv = \frac{\sigma }{{\overline X}})$ است و معمولاً به صورت درصد بیان می‌شود.

فرض کنیم جرم دو نوزاد به ترتیب ${x_1} = 1/5$ کیلوگرم و ${x_2} = 2/5$ کیلوگرم و جرم دو فرد چهل ساله به ترتیب ${y_1} = 80$ کیلوگرم و ${y_2} = 81$ کیلوگرم است.

الف) تفاوت جرم دو نوزاد چقدر است؟
ب) تفاوت جرم دو فرد چهل ساله چقدر است؟
پ) انحراف معیارهای هر دو دسته را به‌دست آورید.
ت) فکر می‌کنید تفاوت جرم‌ها در کدام دسته زیادتر به نظر می‌رسد؟
ث) ضریب تغییرات هر دو دسته را به‌دست آورید.

همانگونه که دیدید با اینکه میزان تغییرات دو داده در هر دو دسته یکسان است اما ضریب تغییرات در متفاوت است زیرا این شاخص، تغییرات را به نسبت میانگین می‌سنجد.

لازم به ذکر است که از ضریب تغییرات فقط برای داده‌های مثبت استفاده می‌شود.

موجودی حساب پس انداز علی و محمد و امید در ابتدای یک سال به ترتیب $A$ و $B$ و $C$ ریال است. (مقادیر $A$ و $B$ و $C$ دو به دو متمایزند) اگر این سه نفر ماهانه صد هزار تومان به حساب خود واریز کرده و هیچ مبلغی برداشت نکنند، ضریب تغییرات موجودی‌های آنها در پایان سال نسبت به ابتدای سال چه تغییری خواهد کرد؟ افزایش می‌یابد یا کاهش؟ چرا؟

چارک‌ها

چارک‌ها (چارک اول، چارک دوم و چارک سوم) مقادیری هستند که داده‌های مرتب شده را به چهار قسمت مساوی تقسیم می‌کنند. بدیهی است چارک دوم همان میانه است. چارک اول را با

Q_{1}

${Q_1}$ و چارک سوم را با

Q_{3}

${Q_3}$ نمایش می‌دهند.

می‌بینید که 25 درصد داده‌ها از 48 (چارک اول)، 50 درصد داده‌ها از 70 (میانه) و 75 درصد داده‌ها از 87 (چارک سوم) کمتر است.

محاسبهٔ چارک‌ها:

1- ابتدا میانه داده‌ها را به دست آورید.
2- برای داده‌های مرتب شده قبل از میانه، یک میانه به دست آورید و آن را چارک اول بنامید.
3- برای داده‌های مرتب شده بعد از میانه، یک میانه به دست آورید و آن را چارک سوم بنامید.

مثال: تعداد تصادف‌های اتومبیل‌ها در 15 روز اول تابستان در شهری به‌صورت زیر گزارش شده است.

19 31 25 18 32 41 43 34 16 27 14 23 15 10 12

چارک‌ها را مشخص کنید:

توجه به این نکته نیز ضروری است که با توجه به تعداد داده‌ها، ممکن است چارک‌ها دقیقاً خود داده‌ها نباشند و در فاصلهٔ بین دو دادهٔ متوالی قرار گیرند.

معلم یک کلاس می‌خواهد متوسط مدت زمان استفاده دانش‌آموزان از اینترنت را برآورد کند. وی از 35 دانش‌آموز کلاس خود پرسید، در یک شبانه‌روز چند دقیقه از اینترنت استفاده می‌کنند؟ در زیر پاسخ آنها گزارش شده است.

45	90	60	200	15	180	45	80	30	120
75	90	90	60	20	120	115	60	30	20
45	45	60	60	60	100	90	75	200	25
					15	30	180	100	120

چارک اول، میانه و چارک سوم مدت زمان استفاده از اینترنت دانش‌آموزان این کلاس را مشخص کنید.

خواندنی

علاوه بر چارک، از دهک و صدک نیز استفاده می‌شود. دهک‌ها (دهک اول، دهک دوم ،… و دهک نهم) مقادیر نه داده هستند که داده‌های مرتب شده را به ده قسمت مساوی تقسیم می‌کنند. دهک پنجم همان میانه است.

به نقل از روزنامه همشهری 92/11/9، شناسایی سه دهک پایین درآمدی باید در دستور کار دولت قرار گیرد. با توجه به این جمله چه افرادی باید شناسایی شوند؟

اگر دولت بخواهد یارانهٔ افرادی را که درآمد آنها بیشتر از دهک هشتم است، حذف کند و به یارانهٔ افرادی که درآمد آنها از دهک سوم کمتر است، 50 درصد اضافه کند، آیا برای دولت مقرون به‌صرفه است؟

صدک‌ها (صدک اول، صدک دوم ،…و صدک نود و نهم) مقادیر نود و نه داده‌اند که داده‌های مرتب شده را به صد قسمت مساوی تقسیم می‌کنند. صدک دهم همان دهک اول و صدک بیست وپنجم همان چارک اول است.

کودکانی که زیر صدک سوم قد رشد می‌کنند، فارغ از اندازهٔ قد باید ارزیابی شوند.

- منظور از صدک سوم قد چیست؟
- بر اساس جملهٔ فوق چه کودکانی باید مورد ارزیابی قرار گیرند؟

1) درستی یا نادرستی جمله‌های زیر را مشخص کنید.

- اگر مقدار ثابت و مثبت $c$ از داده‌ها کم شود، انحراف معیار به اندازهٔ $\sqrt c$ کاهش می‌یابد.
- اگر مقدار ثابت و مثبت $c$ به داده‌ها اضافه شود، ضریب تغییر بزرگ‌تر می‌شود.
- اگر مقدار ثابت و مثبت $c$ در داده‌ها ضرب شود، انحراف معیار $c$ برابر می‌شود.
- اگر مقدار ثابت و مثبت $c$ در داده‌ها ضرب شود، ضریب تغییر ثابت می‌ماند.

2) ضریب تغییرات سن دانش‌آموزان کلاس شما 10 سال دیگر چه تغییری می‌کند؟

3) علیرضا و آرمان دو کارمند شرکت A هستند که وظایف یکسانی دارند اما حقوق دریافتی آنها به ترتیب 1200000 تومان و 1600000 تومان است. محمد و بهروز نیز دو کارمند شرکت B هستند که با وظایف یکسان حقوق‌هایی به ترتیب 2500000 تومان و 3000000 تومان دریافت می‌کنند. به‌نظر شما در کدام شرکت بی‌عدالتی بیشتری در پرداخت حقوق به این افراد مشاهده می‌شود؟ توضیح دهید.

4) جدول زیر، پول توجیبی (ده هزار ریال) هفتگی پنج دوست نزدیک مینا و مریم را نشان می‌دهد.الف) میانگین و میانهٔ پول توجیبی را برای دوستان مریم و مینا محاسبه کنید. ب) انحراف معیار پول توجیبی را برای دوستان مریم و مینا محاسبه کنید. پ) برنامه‌ریزی برای یک سفر یک روزه با دوستان برای مینا ساده‌تر است یا مریم؟

27	26	25	24	23	مینا
35	30	25	20	15	مریم

5) میانگین، میانه و انحراف معیار نرخ تورم (مراجعه به خواندنی) سال های 94-84 را بر اساس جدول زیر محاسبه کنید.

1394	1393	1392	1391	1390	1389	1388	1387	1386	1385	1384	سال
11/9	15/6	34/7	30/5	21/5	12/4	10/8	25/4	18/4	11/9	10/4	نرخ تورم

6) در جدول زیر، ارتفاع از سطح دریا برای بعضی از شهرهای استان مرکزی و کهگیلویه و بویراحمد دیده می‌شود. (راهنمایی $1m = 3/281$ ، فوت: $ft$ ، متر: $m$ )

کهگیلویه و بویراحمد			مرکزی
دنا	دهدشت	یاسوج	شازده	خمین	محلات	اراک	شهر
$7218/20(ft)$	$3248/19(ft)$	$6135/47(ft)$	$1920(m)$	$1830(m)$	$1775(m)$	$1708(m)$	ارتفاع از سطح دریا

الف) میانگین ارتفاع از سطح دریا در شهرهای استان مرکزی چقدر است؟
ب) انحراف معیار ارتفاع از سطح دریا در شهرهای استان مرکزی چقدر است؟
پ) ارتفاع از سطح دریا برای شهرهای کدام استان بیشتر است؟

خواندنی

شاخص تورم (شاخص بهای کالاها و خدمات مصرفی) معیار سنجش تغییرات قیمت کالاها و خدماتی است که توسط خانوارها در یک جامعه به مصرف می‌رسد. این شاخص به‌عنوان وسیله‌ای برای اندازه‌گیری سطح عمومی قیمت کالاها و خدمات مورد مصرف خانوارها، یکی از بهترین معیارهای سنجش تغییر قدرت خرید پول داخل کشور به‌شمار می‌رود. برای محاسبهٔ شاخص تورم، سال 1390 به‌عنوان سال پایه، 294 قلم کالا و 91 قلم خدمت با توجه به اهمیت آنها به طریق علمی انتخاب شده است. برای محاسبهٔ شاخص تورم از رابطهٔ زیر استفاده می‌شود:

${I_t} = \frac{{P_t^iQ_t^i + .... + P_t^{385}Q_t^{385}}}{{P_0^iQ_0^i + .... + P_0^{385}Q_0^{385}}} \times 100$

سال	شاخص تورم	نرخ تورم
1384	39/80	10/4
1385	44/53	11/9
1386	52/74	18/4
1387	66/12	25/4
1388	73/23	10/8
1389	82/31	12/4
1390	100/00	21/5
1391	130/54	30/5
1392	175/88	34/7
1393	203/24	15/6
1394	227/46	11/9

که در آن
$:{I_t}$ شاخص تورم در زمان $t$
$:P_t^i$ قیمت کالا یا خدمت $i$ ام در زمان $t$
$:P_0^i$ قیمت کالا یا خدمات $i$ ام در زمان پایه
$:Q_t^i$ مقدار مصرف کالا یا خدمت $i$ ام در زمان $t$
$:Q_0^i$ مقدار مصرف کالا یا خدمت $i$ ام زمان پایه

برای محاسبهٔ نرخ تورم $(In{f_t})$ از رابطهٔ زیر استفاده می‌شود:

$In{f_t} = \frac{{{I_t} - {I_{t - 1}}}}{{{I_{t - 1}}}} \times 100$

${I_t}$ شاخص تورم در سال موردنظر و ${I_{t - 1}}$ شاخص تورم در سال قبل از آن است.

خواندنی

در بسیاری از پژوهش‌ها برای بیان بهتر نتایج و انتقال ساده‌تر مفاهیم، از جدول‌ها و نمودارها استفاده می‌کنند. نرم‌افزارهای گوناگونی برای ترسیم نمودارها به کار گرفته می‌شوند. پرکاربردترین، ساده‌ترین و فراگیرترین نرم‌افزار موجود، برنامهٔ اکسل از مجموعهٔ مایکروسافت آفیس است.

نخستین مرحله از رسم نمودار، وارد کردن داده‌ها در یک کاربرگ (worksheet) از برنامهٔ اکسل است. نام متغیرها را بالای ستون مربوط به آن بنویسید. معمولاً متغیر در ستون اول و فراوانی یا مقدار هر گروه یا متغیر را در ستون بعد روبه‌روی آن وارد می‌کنند. برنامهٔ اکسل متغیر را به‌صورت خودکار، روی محور افقی و فراوانی یا مقادیر را روی محور عمودی نشان می‌دهد. انواع نمودارهای پیش فرض که در پایه‌های پیشین با آنها آشنا شده‌اید، در برنامهٔ اکسل وجود دارد.

نمودار میله‌ای:

برای نمایش فراوانی یا درصد متغیرهای اسمی، گسسته یا گروه‌بندی شده از نمودار میله‌ای استفاده می‌شود. برای مثال تعداد فرزندان خانواده، دادهٔ گسسته است. برای رسم نمودار در اکسل داده‌ها را وارد کنید:

سپس دو ستون را انتخاب کنید.

سپس از منوی صفحهٔ قبل سربرگ Insert را انتخاب کنید. انواع نمودار را در آنجا می‌بینید. برای رسم نمودار میله ای، از الگوی Column یا Bar استفاده کنید.

بنا به کارایی نمودار مورد نظر و سلیقهٔ خودتان می‌توانید هر یک از این پنج نمونه نمودار را به‌عنوان نمودار میله‌ای انتخاب کنید. با انتخاب نمودار مورد نظر، نمودار میله‌ای شامل مقادیر مورد نظر شما رسم می‌شود و به‌صورت یک شیِء جداگانه روی کاربرگ شما نشان داده می‌شود. با کلیک و راست کلیک بر روی بخش‌های گوناگون نمودارتان، می‌توانید گزینه‌های آن از قبیل رنگ، نام نمودار، برچسب‌ها، سه‌بعدی بودن، پس زمینهٔ نمودار و … را به اشکال مختلف تغییر دهید. با گرفتن و کشیدن نمودار می‌توانید محل آن را در کاربرگتان جابه‌جا کنید.

نمودار دایره‌ای:

نمودار دایره‌ای، بهتر است برای متغیر اسمی استفاده شود. هنگامی که یک موضوع را به بخش‌هایی تفکیک کنیم، نمودار دایره‌ای بسیار مناسب است؛ مثلاً درآمد یک شرکت به بخش‌های مختلف تعلق می‌گیرد. می‌توان آن را با نمودار دایره‌ای نمایش داد.

برای رسم نمودار در اکسل ابتدا داده‌ها را وارد کنید:
با رفتن به قسمت Insert و انتخاب Pie نمودار دایره‌ای مورد نظرتان را انتخاب کنید. با فشار دادن روی آن، نمودار دایره‌ای رسم می‌شود.

دیدید که برای رسم سایر نمودارها هم می‌توان به همین ترتیب عمل کرد، فقط کافی است از منوی بالا سربرگ Insert را انتخاب کنید و نمودار مورد نظر خود را، پس از ورود داده‌ها انتخاب نمایید.