درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی کلاس هشتم درس 3: چهارضلعی‌ها

چهارضلعی‌ای که ضلع‌های روبه روی آن دو به دو با هم موازی‌اند، متوازی الاضلاع نام دارد.

1- متوازی الاضلاعی را رسم، و مانند شکل نام گذاری کنید.
یک ورق کاغذ پوستی روی آن بگذارید و تصویر متوازی الاضلاع را رسم کنید.
نوک مدادتان را روی نقطهٔ O (محل برخورد قطر‌ها و مرکز تقارن شکل) قرار دهید و مانند شکل‌های زیر، تصویر را 180 درجه حول این نقطه بچرخانید تا بر شکل منطبق شود.

2- با توجه به انطباق شکل و تصویر، تساوی‌ها را کامل کنید.

$\widehat{A}=$

$\widehat{B}=$

$\overline{AB}=$

$\overline{BC}=$

هر یک از عبارت‌های زیر، یکی از خاصیت‌های متوازی الاضلاع را بیان می‌کند. با توجه به تساوی‌های بالا، این دو عبارت را کامل کنید.

در هر متوازی الاضلاع، زاویه‌های رو به رو مساوی‌اند.

در هر متوازی الاضلاع، ضلع‌های رو به رو مساوی‌اند.

در هر متوازی الاضلاع، زاویه‌های مجاور مکمل‌اند.

3- پاره خط OA بر کدام پاره خط منطبق شده است؟ OC

پاره خط OB چطور؟ OD

با توجه به پاسخ این دو پرسش، یک خاصیت دیگر متوازی الاضلاع را پیدا کنید و بنویسید.

در هر متوازی الاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند.

1- شکل‌های زیر متوازی الاضلاع‌اند. با تشکیل معادله، مقدار x را به دست آورید.

زاویه‌های روبرو با هم برابرند

$x+10=140$
$x=140-10$
$x=130$

$2x-3=7$

$2x=7+3$

$2x=10$

$x=\frac{10}{2}=5$

زاویه‌های مجاور مکملند

$2x+10+130=180$

$2x=180-10-130$

$2x=40$

$x=\frac{40}{2}=20$

$3x-1=17$

$3x=17+1$

$3x=18$

$x=\frac{18}{3}=6$

2- در صفحهٔ شطرنجی متوازی الاضلاعی رسم کنید که یکی از زاویه‌هایش قائمه (90 درجه) باشد.
چرا زاویه‌های دیگر آن هم حتماً قائمه‌اند؟ توضیح دهید.
چون در متوازی‌الاضلاع باید زاویه‌های روبه‌رو مساوی و زاویه‌های مجاور مکمل باشند.

1- با توجه به تعریف متوازی الاضلاع، کدام یک از شکل‌های زیر متوازی الاضلاع است؟

الف - ج - ه - ط

2- در اینجا چند چهارضلعی دیگر هم تعریف شده است. هر تعریف را بخوانید و از میان چهارضلعی‌های فعّالیت قبل، مثال‌هایی برای هریک پیدا کنید.

مستطیل متوازی الاضلاعی است که زاویه‌های قائمه دارد. ج، ه
لوزی متوازی الاضلاعی است که چهار ضلع آن برابرند. ه
مربع متوازی الاضلاعی است که چهار ضلع مساوی و زاویه‌های قائمه دارد. الف، ه

3- می‌دانیم که «در هر متوازی الاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند.»

آیا می‌توانیم نتیجه بگیریم که «در هر لوزی هم قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند»؟ چرا؟
بله؛ چون هر لوزی، متوازی‌الاضلاع است.

1- با توجه به نمودار رو به رو در جدول زیر، جاهای خالی را پر کنید.

مربع	مستطیل	لوزی	متوازی‌الاضلاع
*	*	*	*
×	*	×	*
×	×	*	*
ـــــ	ـــــ	ـــــ	*

2- روی یک ورق کاغذ، مستطیلی به دلخواه رسم کنید و دور آن را ببرید. مستطیل را مانند شکل نام گذاری کنید؛ سپس آن را ابتدا روی یکی از خط‌های تقارن و سپس روی خط تقارن دیگر تا کنید.

مانند نمونه، توضیح دهید که شکل به دست آمده چگونه هر یک از خاصیت‌های مستطیل را نشان می‌دهد.

- در مستطیل قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند؛ چون OA روی OC و OB روی OD قرار گرفته است.

الف) همه زاویه‌ها در مستطیل با هم برابرند؛ چون روی هم قرار می‌گیرند.
ب) ضلع‌های رو به رو در مستطیل مساوی‌اند؛ چون هر ضلع بر ضلع مقابلش منطبق می‌شود.
ج) قطرها در مستطیل با هم برابرند؛ چون نصف هر قطر بر نصف قطر دیگر منطبق می‌شود.

3- در یک طرح کاشی کاری، مربع ABCD دیده می‌شود. چهارضلعیِ MNPQ هم با وصل شدن وسط ضلع‌های این مربع تشکیل شده است.

دو دانش آموز توضیح داده‌اند که MNPQ چه نوع چهارضلعی‌ای است. نظر این دو دانش آموز در اینجا آمده است.

مبین
ABCD مربع است.

این مربع را روی دو خط تقارنی، که موازی ضلع‌های آن هستند، تا می‌کنیم.
همهٔ ضلع‌های چهارضلعی MNPQ روی هم می‌افتند.
پس، این چهارضلعی لوزی است.

هادی
ABCD مربع است.

این مربع را روی دو قطر آن، که محور تقارن نیز هستند، تا می‌کنیم.
همهٔ زاویه‌های چهارضلعی MNPQ روی هم می‌افتند. چون مجموع آنها

$360{}^\circ$ است؛ پس هرکدام

$90{}^\circ$ می‌شوند.
درنتیجه این چهارضلعی مستطیل است.

دلایل هر دو را بخوانید و توضیح دهید که چگونه به کمک این دو نوشته می‌توانیم نتیجه بگیریم که MNPQ مربع است.
چهارضلعی که ضلع‌های مساوی و زاویه‌های 90 درجه دارد، مربع است.

1- چهار ضلعی ABCD لوزی و چهار ضلعی DCEF مربع است.

الف) چرا $\overline{AD}=\overline{CE}$ ؟

$\left. \begin{matrix}AD=DC \\DC=CF \\\end{matrix} \right\}\Rightarrow AD=CE$

ب) چرا $AB||EF$ ؟

$\left. \begin{matrix}AB||DC \\DC||EF \\\end{matrix} \right\}\Rightarrow AB||EF$

ج) زاویهٔ ADF چند درجه است؟ $90+40=130$

2- روی کاغذ، لوزی دلخواهی بکشید و دور آن را ببرید.
این لوزی کاغذی را روی دو خط تقارنش تا کنید. به کمک شکل به دست آمده چه نتایجی در مورد قطرهای لوزی به دست می‌آید.
قطرهای لوزی بر هم عمودند چون 4 زاویه که جمعشان 360 درجه است، روی هم قرار می‌گیرند.

3- وسط ضلع‌های یک مستطیل را به ترتیب به هم وصل می‌کنیم. چهارضلعی به دست آمده چه نوع چهارضلعی‌ای است؟ دلیل خود را توضیح دهید.
لوزی، چون اگر مستطیل را روی خط‌های تقارنش تا کنیم ضلع‌های این چهارضلعی روی هم منطبق می‌شوند.

4- درستی یا نادرستی هریک از جمله‌های زیر را بررسی کنید.

الف) قطرهای هر مستطیل با هم مساوی‌اند. درست
ب) قطرهای هر لوزی با هم مساوی‌اند. نادرست
ج) قطرهای هر مستطیل بر هم عمودند. نادرست
د) قطرهای هر لوزی بر هم عمودند. درست