درسنامه آموزشی فیزیک (3) دوازدهم علوم تجربی فصل دوم: تکانه و قانون دوم نیوتون

قانون‌های نیوتون به ما امکان حل بسیاری از مسائل مکانیک را می‌دهند. قانون دوم نیوتون را می‌توان به صورت دیگری نیز نوشت که در بسیاری از موارد مناسب‌تر است و برخی از پدیده‌های فیزیکی را به کمک آن می‌توان ساده‌تر توجیه و بررسی کرد.
فرض کنید سرعت جسمی به جرم $m$ تحت تأثیر نیروی خالص ثابت ${{\overrightarrow{F}}_{net}}$ در بازهٔ زمانی $\Delta t$ از $\overrightarrow{{{v}_{1}}}$ به $\overrightarrow{{{v}_{2}}}$ برسد. در این صورت قانون دوم نیوتون به صورت زیر در می‌آید:

${{\overrightarrow{F}}_{net}}=m\overrightarrow{a}=m\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$

سرعت جسم تحت تأثیرنیروی خالص ثابت است — شکل 2-18 سرعت جسم تحت تأثیرنیروی خالص ثابت ${{\overrightarrow{F}}_{net}}$ از $\overrightarrow{{{v}_{1}}}$ به $\overrightarrow{{{v}_{2}}}$ می‌رسد.

با فرض ثابت بودن جرم جسم ( $m$ ) می‌توانیم جرم را در کنار سرعت $\overrightarrow{v}$ قرار دهیم.

${{\overrightarrow{F}}_{net}}=\frac{\Delta (m\overrightarrow{v})}{\Delta t}$

حاصل ضرب جرم جسم ( $m$ ) در سرعت آن $(\overrightarrow{v})$ ، تکانهٔ جسم نامیده می‌شود و آن را با $\overrightarrow{p}$ نشان می‌دهیم.

(۸-۲) $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$

تکانه کمیتی برداری است زیرا سرعت، یک کمیت برداری و جرم، یک کمیت نرده‌ای است.
جهت تکانه همان جهت سرعت است. یکای $SI$ تکانه $kg.m/s$ است. با توجه به تعریف تکانه، قانون دوم نیوتون برای نیروی ثابت را می‌توان چنین نوشت:

(۹-۲) ${{\overrightarrow{F}}_{net}}=\frac{\Delta \overrightarrow{p}}{\Delta t}$

یعنی نیروی خالص وارد بر جسم برابر با تغییر تکانهٔ جسم تقسیم بر زمان تغییر آن است. همچنین از این رابطه نتیجه می‌گیریم که تغییر تکانه برابر با حاصل ضرب نیرو در مدت زمان تأثیر آن است.

(۱۰-۲) $\Delta \overrightarrow{p}={{\overrightarrow{F}}_{net}}\Delta t$

نشان دهید بین اندازهٔ تکانه $(‌p)$ و انرژی جنبشی $(K)$ جسمی به جرم $m$ ، رابطهٔ $K=\frac{{{p}^{2}}}{2m}$ بر قرار است.
اگر رابطهٔ انرژی جنبشی را نوشته و طرف دوم را در $m$ ضرب و تقسیم کنیم، داریم:

$K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\xrightarrow{\times \frac{m}{m}}K=\frac{1}{2}\frac{{{(mv)}^{^{2}}}}{m}\xrightarrow{mv=p}K=\frac{{{p}^{2}}}{2m}$

گلوله‌ای به جرم $10/0g$ با سرعت $\overrightarrow{v}=(5/0m/s)\overrightarrow{i}$ در حال حرکت است. الف) تکانهٔ گلوله را تعیین کنید. ب) انرژی جنبشی گلوله را به دست آورید.
پاسخ: الف) با استفاده از معادلهٔ 2-8، تکانهٔ جسم را به دست می‌آوریم:

$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}=(10/0\times {{10}^{-3}}kg)(5/0m/s)\overrightarrow{i}$
$=(0/050kg.m/s)\overrightarrow{i}\Rightarrow P=0/050kg.m/s$

ب) برای به دست آوردن انرژی جنبشی می‌توانیم از رابطهٔ $K=\frac{{{p}^{2}}}{2m}$ یا $K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}$ استفاده کنیم. در اینجا از رابطهٔ اول استفاده می‌کنیم:

$K=\frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{(0/050kg.m/s)}{(2\times 10/0\times {{10}^{-3}}kg)}=0/125J$

شرایط واقعی نیروی وارد بر یک جسم به ندرت ثابت است. اگر نیرو ثابت نباشد، معادله‌های داده شده را فقط برای بازه‌های زمانی‌ای می‌توان به کار برد که بسیار کوچک باشد و بتوان نیرو را در این بازه‌ها تقریباً ثابت در نظر گرفت. برای بازهٔ زمانی بزرگ به جای نیروی خالص باید نیروی خالص متوسط در فاصلهٔ زمانی مورد نظر را به کار برد و بنابراین رابطهٔ (2-9) چنین می‌شود:

(۱۱-۲) (نیروی خالص متوسط برحسب تکانه) $\overrightarrow{{{F}_{av}}}=\frac{\Delta \overrightarrow{p}}{\Delta t}$

این نتیجه به کاربردهای جالبی در توجیه و بررسی پدیده‌های فیزیکی می‌انجامد.
تغییر تکانهٔ یک جسم (یعنی $(\Delta \overrightarrow{p}=\overrightarrow{{{F}_{av}}}\Delta t)$ را می‌توان از سطح زیر نمودار نیرو - زمان نیز به دست آورد (شکل 2-19).

الف) نیروی خالص وارد بر یک جسم می‌تواند برحسب زمان تغییر کند. ب) مقدار نیروی متوسط $({{F}_{av}})$ (خط چین اافقی) به گونه‌ای است که مساحت مستطیل $({{F}_{av}}\Delta t)$ برابر با مساحت سطح زیر منحنی شکل الف باشد. — شکل 2-19 الف) نیروی خالص وارد بر یک جسم می‌تواند برحسب زمان تغییر کند. ب) مقدار نیروی متوسط $({{F}_{av}})$ (خط چین افقی) به گونه‌ای است که مساحت مستطیل $({{F}_{av}}\Delta t)$ برابر با مساحت سطح زیر منحنی شکل الف باشد.

شکل روبه رو صحنه‌ای از یک آزمون تصادف را نشان می‌دهد که در آن خودرویی به جرم $1200kg$ به دیواری برخورد کرده و سپس برمی‌گردد. اگر تندی اولیه و نهایی خودرو به ترتیب $54/0km/h$ و $9/00km/h$ باشد و تصادف $0/150s$ طول بکشد،

صحنه‌ای از یک آزمون تصادف

الف) تغییر تکانهٔ خودرو را پیدا کنید.
ب) اندازه و جهت نیروی متوسط وارد بر خودرو را تعیین کنید.
: الف) جهت محور $x$ را به طرف راست انتخاب می‌کنیم و تکانه‌ها رابا استفاده از رابطهٔ 2-8 به دست می‌آوریم.

${{v}_{2}}=-9/00km/h=-2/50m/s$ و ${{v}_{1}}=+54/0km/h=+15/0m/s$

${{p}_{1}}=m{{v}_{1}}=(1200kg)(+15/0m/s)=+1/80\times {{10}^{4}}kg.m/s=+18/0\times {{10}^{3}}kg.m/s$

${{p}_{2}}=m{{v}_{2}}=(1200kg)(-2/50m/s)=-3/0\times {{10}^{3}}kg.m/s$

$\Delta p=(-3/0\times {{10}^{3}}kg.m/s)-(+18/0\times {{10}^{3}}kg.m/s)=-2/10\times {{10}^{4}}kg.m/s$

ب) نیروی متوسط وارد بر اتومبیل با استفاده از رابطهٔ 2-11 برابر است با:

${{F}_{av}}=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{-2/1\times {{10}^{4}}kg.m/s}{0/150s}=-1/4\times {{10}^{5}}N$

یعنی نیروی خالص متوسطی که از دیوار به خودرو وارد می‌شود در خلاف جهت محور $x$ (یعنی به طرف چپ) است. توجه داریم اگر خودرو پس از برخورد، برنگردد نیروی متوسط وارد بر خودرو کوچک‌تر از مقداری است که اکنون به دست آوردیم.