الف) وزن قطعه‌ای طلا به جرم $100$ گرم را روی سطح زمین به دست آورید.
نقشهٔ راه: وزن جسم از رابطهٔ $\overrightarrow{W}=m\overrightarrow{g}$ به دست می‌آید. بنابراین:
زمین: $the earth$

$W=mg\xrightarrow[m=0/1kg]{{{g}_{\text{the earth}}}=9/8N/kg}W=0/1\times 9/8=0/98N$ :اندازهٔ وزن 100 گرم طلا در روی سطح زمین

ب) وزن یک جسم در سطح یک سیاره برابر با نیروی گرانشی است که از طرف آن سیاره بر جسم وارد می‌شود. وزن این قطعه طلا را در سطح ماه و مریخ به دست آورید و با هم مقایسه کنید.
ماه: $Month$ / مریخ: $Mars$

$\xrightarrow[m=0/1kg]{{{g}_{\text{Month}}}=1/6N/kg}W=1/6\times 0/1=0/16N$ :اندازهٔ وزن 100 گرم طلا در روی سطح ماه
$\xrightarrow[m=0/1kg]{{{g}_{\text{Mars}}}=3/7N/kg}W=0/1\times 3/7=0/37N$ :اندازهٔ وزن 100 گرم طلا در روی سطح مریخ

در نتیجه برای یک جرم معین، اندازهٔ وزن جسم به شتاب جاذبهٔ (گرانش) محل بستگی دارد. بنابراین برای 100 گرم طلا
زمین: $the earth$ / مریخ: $Mars$ / ماه: $Month$

${{W}_{\text{the earth}}} \gt {{W}_{\text{Mars}}} \gt {{W}_{\text{Month}}}$

اگر در مثال 2-5 از مقاومت هوا صرف نظر کنیم، سرعت برخورد گوی‌ها با زمین را با هم مقایسه کنید.
نقشهٔ راه: اگر مقاومت هوا نباشد:

${{F}_{ne{{t}_{y}}}}=m{{a}_{y}}\to W=m{{a}_{y}}\to mg=m{{a}_{y}}\to {{a}_{y}}=g$

یعنی هر دو گوی با شتاب یکسان سقوط آزاد می‌کنند. بنابراین:

${{v}^{2}}-v_{0}^{2}=2a\Delta y\to {{v}^{2}}-0=2gh\to v=-\sqrt{2gh}$

سرعت برخورد دو گلوله به سطح زمین برابر است. ${{v}_{1}}={{v}_{2}}$

همانند شکل، جعبه‌ای به جرم $4/0kg$ روی میزی افقی قرار دارد. نیروی عمودی سطح را در حالت‌های نشان داده شده به دست آورید.
در شکل (الف) دو نیرو به جسم اثر می‌کنند. بنابراین داریم:

${{a}_{y}}=0\Rightarrow {{F}_{N}}=mg\Rightarrow {{F}_{N}}=4\times 9/8=39/2N$

در شکل (ب) دو نیرو به سمت پائین و یک نیرو به سمت بالا داریم، بنابراین:

${{a}_{y}}=0\Rightarrow {{F}_{N}}-20-mg=0\Rightarrow {{F}_{N}}=20+mg=20+4\times 9/8\Rightarrow {{F}_{N}}=59/2N$

در شکل (پ) دو نیرو به سمت بالا و یک نیرو به سمت پائین به جسم اثر می‌کند، بنابراین:

${{a}_{y}}=0\Rightarrow {{F}_{N}}+20-mg=0\Rightarrow {{F}_{N}}=mg-20=39/2-20\Rightarrow {{F}_{N}}=19/2N$

در مثال 2-6، در هر یک از حالت‌های زیر، عددی را که ترازوی فنری نشان می‌دهد با وزن شخص مقایسه کنید.
الف) آسانسور به طرف بالا شروع به حرکت کند.
ترازو عددی بزرگ‌تر از اندازهٔ وزن را نشان می‌دهد، زیرا:

${{F}_{N}}-W=ma\Rightarrow {{F}_{N}}=mg+ma\Rightarrow {{F}_{N}}=m(g+a)$

ب) آسانسور به طرف پایین شروع به حرکت کند.
ترازو، عددی کوچک‌تر از اندازهٔ وزن را نشان می‌دهد. زیرا شتاب جسم رو به پائین است. بنابراین شتاب منفی است، در نتیجه:

${{F}_{N}}-W=-ma\Rightarrow {{F}_{N}}=W-ma\Rightarrow {{F}_{N}}=mg-ma\Rightarrow {{F}_{N}}=m(g-a)$

پ) آسانسور در حالی که به طرف بالا حرکت می‌کند، متوقف شود.
در حرکت کُندشونده سرعت و شتاب غیرهم جهت هستند، در نتیجه وقتی سرعت به سمت بالا است، پس شتاب به سمت پائین است. اگر نیروهای وارد بر نیروسنج را رسم کنیم چنین می‌شود.
اگر جهت به سمت بالا مثبت فرض شود، شتاب منفی می‌شود:

${{F}_{N}}-W=-ma\to {{F}_{N}}=W-ma\to {{F}_{N}}=m(g-a)$

در این حالت نیروسنج عددی کوجک‌تر از اندازهٔ وزن را نشان می‌دهد.

ت) آسانسور در حالی که به طرف پایین حرکت می‌کند، متوقف شود.
در حرکت کُندشونده به طرف پایین چون سرعت به طرف پائین است، بنابراین شتاب به سمت بالا است. اگر نیروهای وارد بر نیروسنج را رسم کنیم، داریم:

${{F}_{N}}-W=ma\to {{F}_{N}}=W+ma\to {{F}_{N}}=m(g+a)$

در این حالت نیروسنج عددی بزرگ‌تر از اندازهٔ وزن را نشان می‌دهد.

نکته: با توجه به حل مثال 2-6 و این پرسش می‌توانیم چنین دسته‌بندی کنیم:
هرگاه شخصی روی یک نیروسنج درون آسانسور قرار گیرد در صورتی که جرم شخص برابر $m$ باشد عددی که نیروسنج نشان می‌دهد برابر ${{F}_{N}}$ بوده و به صورت زیر می‌شود:

الف) بر اساس قانون سوم نیوتون و آنچه از اصطکاک آموختید، توضیح دهید راه رفتن با شروع از حالت سکون چگونه انجام می‌شود؟
وقتی می‌خواهیم شروع به حرکت کنیم با کف پا نیرویی به زمین به طرف عقب وارد می‌کنیم و زمین با نیرویی هم‌اندازه و در خلاف جهت به سمت جلو به ما نیرو وارد می‌کند و در نتیجه ما می‌توانیم حرکت کنیم.
ب) چرا راه رفتن روی یک سطح سُر مانند سطح یخ به سختی ممکن است؟
چون بین پاها و زمین نیروی اصطکاک کافی وجود ندارد و نیروی لازم برای حرکت تامین نمی‌شود و در نتیجه نمی‌توانیم به راحتی حرکت کرده و راه رفتن به سختی ممکن است.

اگر در شکل 2-12، جرم جسم $4/0kg$ و بزرگی نیروها ${{F}_{1}}=4/0N$، ${{F}_{2}}=8/0N$ و ${{F}_{3}}=16/0N$ باشد،
الف) بزرگی نیروهای اصطکاک ایستایی در هر حالت چقدر است؟
نقشهٔ راه: نیروهای وارد بر جسم را رسم می‌کنیم. چون جسم در امتداد افقی شتاب ندارد،

طبق قانون دوم نیوتون برایند نیروهای وارد بر جسم در راستای افقی صفر است. بنابراین:

ب) ضریب اصطکاک ایستایی را پیدا کنید.
در حالتی که نیروی ${{F}_{3}}$ بر جسم اثر می‌کند، جسم در آستانهٔ حرکت است، بنابراین داریم:

${{a}_{y}}=0\to {{F}_{ne{{t}_{y}}}}=0\to {{F}_{N}}=W=mg\to {{F}_{N}}=4\times 9/8=39/2N$

${{f}_{s,\max }}={{\mu }_{s}}{{F}_{N}}\xrightarrow[{{F}_{N}}=39/2N]{{{f}_{s,\max }}=16N}{{\mu }_{s}}=\frac{16}{39/2}=0/41$

اندازه گیری ضریب اصطکاک ایستایی بین دو جسم

وسایل لازم: نیروسنج، قطعهٔ چوبی به شکل مکعب مستطیل با وجوه یکنواخت، ترازو، خط کش
شرح آزمایش:
1- مکعب چوبی را از طرف وجه بزرگ آن، روی سطح افقی میز قرار دهید.
2- نیروسنج را مانند شکل به مکعب چوبی وصل کنید و سر دیگر نیروسنج را با دست بگیرید و به طور افقی بکشید.
3- نیروی دستتان را به آرامی افزایش دهید تا جایی که مکعب چوبی در آستانهٔ لغزیدن قرار گیرد. در این حالت عددی را که نیروسنج نشان می‌دهد، در جدول یادداشت کنید (برای اینکه دقت شما افزایش یابد لازم است آزمایش را چند بار تکرار کنید).
4- اکنون مکعب چوبی را از طرف وجه کوچک‌تر روی سطح قرار دهید و مراحل 2 و 3 را تکرار کنید.
5- با اندازه گیری جرم مکعب چوبی و استفاده از رابطهٔ 2-4 مقدار ${{\mu }_{s}}$ را در هر آزمایش محاسبه و در جدول یادداشت کنید.
اگر نیروهای وارد بر جسم را رسم کنیم، چنین می‌شود:

$\begin{matrix}    {{a}_{x}}=0\to F={{f}_{s,\max }}  \\    {{a}_{y}}=0\to {{F}_{N}}=W\begin{matrix}    {}  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix}\to {{f}_{s,\max }}={{\mu }_{s}}{{F}_{N}}\to {{\mu }_{s}}=\frac{{{f}_{s,\max }}}{{{F}_{N}}}=\frac{F}{W}$

ضریب اصطکاک ایستایی ${{\mu }_{s}}$ به جنس سطح تماس دو جسم بستگی دارد و به مساحت سطح تماس قطعه با میز بستگی ندارد.

همراه با اعضای گروه خود، نتیجه‌های به دست آمده را تفسیر کنید.

آزمایشی طراحی کنید که نشان دهد ${{f}_{s,\max }}$ متناسب با ${{F}_{N}}$ است.
در شکل مقابل اگر بخواهیم فقط جسم ${{m}_{1}}$ را در آستانه حرکت قرار دهیم به نیروی ${{F}_{1}}$ نیاز داریم و در این حالت

${{f}_{s,{{\max }_{1}}}}={{\mu }_{s}}{{m}_{1}}g$     و   ${{F}_{N}}={{m}_{1}}g$

ولی اگر جسم ${{m}_{2}}$ را روی جسم ${{m}_{1}}$ قرار دهیم، چون ${{F}_{N}}$ افزایش یافته است، نیروی ${{F}_{2}}$ بیشتری برای قرار دادن جسم در آستانه حرکت نیاز است زیرا:

${{f}_{s,{{\max }_{2}}}}={{\mu }_{s}}({{m}_{1}}+{{m}_{2}})g$    و    ${{F}_{N}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})g$

در نتیجه ${{f}_{s,\max }}$ با ${{F}_{N}}$ متناسب است.

آزمایشی طراحی کنید که با آن بتوانید:
الف) نیروی اصطکاک جنبشی وارد بر جسمی مانند یک قطعه چوب در حال لغزش روی سطح را اندازه بگیرید و با استفاده از آن ${{\mu }_{k}}$ را به دست آورید.
مطابق شکل به یک قطعه چوب به جرم $m$ که روی سطح افقی قرار دارد یک نیروسنج متصل می‌کنیم و نیروسنج را می‌کشیم تا قطعه چوب با تندی ثابت روی سطح افقی حرکت کند. اگر نیروهای وارد بر چوب را رسم کنیم می‌توانیم به روش زیر ضریب اصطکاک ${{\mu }_{k}}$ را به دست آورید.

${{a}_{y}}=0\to {{F}_{ne{{t}_{y}}}}=0\to {{F}_{N}}=W=mg$

${{a}_{x}}=0\to {{F}_{ne{{t}_{x}}}}=0\to {{f}_{k}}=F\to {{\mu }_{k}}{{F}_{N}}=F\to {{\mu }_{k}}=\frac{F}{mg}$

ب) بستگی یا عدم بستگی نیروی اصطکاک جنبشی به مساحت سطح تماس دو جسم را تحقیق کنید.
باید دقت کرد که سطح ظاهری تماس با سطح واقعی تماس تفاوت دارد. از دیدگاه میکروسکوپی سطح واقعی تماس بسیار کوچک‌تر از سطح ماکروسکوپی ظاهری است (حدود ده هزار بار کوچک‌تر است) و نیروی اصطکاک جنبشی (لغزشی) به مساحت سطح ظاهری تماس دو جسم بستگی ندارد. برای درک بهتر می‌توانیم آزمایش زیر را انجام دهیم:
 اگر یک جسم به شکل مکعب مستطیل را یکبار از طرف سطح بزرگ‌تر و بار دیگر از طرف سطح کوچکش روی یک سطح افقی قرار دهیم و آزمایش قسمت (الف) را تکرار کنیم، مشخص می‌شود که ضریب اصطکاک در هر دو حالت برابر است. زیرا اگرچه از دیدگاه میکروسکوپی سطح ظاهری تماس با تغییر مساحت قطعه چوب عوض شده است و تعداد قله‌هایی که در تماس با پستی - بلندی‌های سطح دیگر قرار می‌گیرد، تغییر می‌کند ولی در هر دو حالت نیروی وزن روی مساحت واقعی یکسان تقسیم می‌شود و در نتیجه ضریب اصطکاک ${{\mu }_{k}}$ به طور محسوسی تغییر نمی‌کند.

در مثال قبل اگر ضریب اصطکاک ایستایی بین جعبه و زمین $0/600$ و جسم در ابتدا ساکن باشد، حداقل نیروی افقی لازم برای به حرکت درآوردن جعبه چقدر است؟
نقشهٔ راه: نیروهای وارد بر جعبه را رسم می‌کنیم و اگر نیروی افقی $F$ برابر ${{f}_{s,\max }}$ باشد، جسم در آستانهٔ حرکت بوده و این حداقل نیروی لازم برای به حرکت درآوردن جعبه است. بنابراین:

${{a}_{y}}=0\to {{F}_{ne{{t}_{y}}}}=0\to {{F}_{N}}-W=0\to {{F}_{N}}=W=mg=735N$
${{f}_{s,\max }}={{\mu }_{s}}{{F}_{N}}=0/6\times 735=441N$
${{a}_{x}}=0\to F={{f}_{s,\max }}=441N$

حداقل نیروی لازم باید اندکی از $441N$ بیشتر باشد تا بتواند بر نیروی ${{f}_{s,\max }}$ غلبه کند و جسم را به حرکت درآورد، یعنی ${{F}_{\min }} \gt 441N$

تعدادی فنر متفاوت تهیه کنید.
الف) سختی آنها را مقایسه کنید.
چون فنرها متفاوت‌اند و ثابت فنر از مشخصات فنر است و به اندازه، شکل و ساختار ماده‌ای که فنر از آن ساخته شده بستگی دارد، پس ثابت و سختی فنرها متفاوت هستند. مثلاً اگر دو یا سه فنر متفاوت را با دو دست خود بگیریم و هر فنر را کمی بکشیم متوجه می‌شویم که برای کشیدن فنرها به یک اندازه، نیروهای متفاوتی نیاز داریم.
ب) با طراحی یک آزمایش، ثابت هر فنر را به دست آورید.
مطابق شکل به ترتیب هر یک از فنرها را از یک نقطه می‌آویزیم و طول اولیه آنها را اندازه‌گیری می‌کنیم و آن را ${{L}_{0}}$ می‌نامیم و سپس یک وزنه به جرم $m$ را به سر دیگر متصل می‌کنیم و طول نهایی فنر $(L)$ را بعد از تعادل اندازه‌گیری می‌کنیم و داریم:

$y=L-{{L}_{0}}$

با داشتن اندازهٔ تغییر طول $y$ و $m$ می‌توانیم به کمک رابطهٔ زیر ثابت فنر را به دست بیاوریم:

${{a}_{y}}=0\to {{F}_{ne{{t}_{y}}}}=0\to {{F}_{e}}=W\to {{k}_{y}}=mg\to k=\frac{mg}{y}$

هرچه ثابت فنر بزرگ‌تر باشد، آن فنر سخت‌تر است.

کارگری یک سطل محتوی مصالح به جرم $16/0kg$ را با طناب سبکی به طرف بالا می‌کشد. اگر شتاب رو به بالای سطل $1/2m/{{s}^{2}}$ باشد، نیروی کشش طناب چقدر است؟

$(g=9/80m/{{s}^{2}})$

نقشهٔ راه: نیروهای وارد بر سطل را رسم می‌کنیم. چون شتاب به سمت بالا است جهت مثبت را به سمت بالا فرض می‌کنیم و می‌توانیم چنین بنویسیم:

$T-W=ma\Rightarrow T-mg=ma\Rightarrow T=m(g+a)$

$\Rightarrow T=16(9/8+1/2)=16\times 11\Rightarrow T=176N$