خط مماس بر دایره: خطی که فقط یک نقطه با دایره مشترک دارد
خط مماس دقیقاً چیست؟
یک خط مماس۱ بر یک دایره، خط راستی است که دایره را در یک و فقط یک نقطه قطع میکند. به این نقطه خاص، «نقطه تماس»۲ میگویند . برای درک شهودی، فرض کنید یک توپ روی زمین قرار دارد. اگر یک خطکش را طوری روی زمین بگذارید که فقط یک نقطه از آن با توپ تماس داشته باشد، در نمای دو بعدی، خطکش شما یک خط مماس بر دایره (مقطع توپ) است . این خط هرگز وارد فضای داخلی دایره نمیشود .
انواع رابطه یک خط با دایره
یک خط در صفحه نسبت به یک دایره میتواند فقط یکی از سه حالت زیر را داشته باشد. شناخت این حالتها به تحلیل بهتر مسائل کمک میکند .
| نوع خط | تعداد نقاط مشترک | توضیح و مثال عینی |
|---|---|---|
| خط قاطع۳ | ۲ نقطه | خطی که از داخل دایره میگذرد و آن را در دو نقطه قطع میکند. مانند چاقویی که یک سیب را از وسط برش میدهد . |
| خط مماس | ۱ نقطه | خطی که دایره را فقط در یک نقطه لمس میکند. مانند چرخ دوچرخه که در هر لحظه فقط در یک نقطه با جاده تماس دارد . |
| خط خارجی | ۰ نقطه | خطی که هیچ نقطهی مشترکی با دایره ندارد و در فاصلهای از آن قرار گرفته است. |
رسم خط مماس: یک روش گامبهگام ساده
برای رسم خط مماس از یک نقطه خارج از دایره ($ P $) به دایرهای با مرکز ($ O $) میتوان از روش هندسی زیر استفاده کرد :
گام اول: پارهخط $ OP $ را رسم کنید.
گام دوم:نیمساز این پارهخط را پیدا کنید (یعنی نقطه وسط آن را مشخص کرده و با گونیا خطی عمود بر $ OP $ در آن نقطه رسم کنید).
گام سوم: به مرکز نقطه وسط $ OP $ و به شعاعی برابر نصف فاصله $ OP $، یک دایره جدید رسم کنید.
گام چهارم: این دایره جدید، دایره اصلی را در دو نقطه ($ T_1 $ و $ T_2 $) قطع میکند. این نقاط، همان نقاط تماس هستند.
گام پنجم: نقطه خارجی $ P $ را به $ T_1 $ و $ T_2 $ وصل کنید. به این ترتیب دو خط مماس بر دایره از نقطه $ P $ رسم شدهاند. یک قضیه مهم میگوید طول این دو مماس با هم برابر است .
خط مماس در زندگی و طبیعت: از دوچرخه سواری تا نجوم
مفهوم خط مماس فقط یک بحث تئوری نیست، بلکه نمونههای ملموس زیادی در اطراف ما دارد:
حرکت چرخها وقتی با دوچرخه یا ماشین در حال پیچیدن به دور یک میدان دایرهشکل هستید، جهت چرخهای وسیله نقلیه در هر لحظه بر مسیر دایرهوار، مماس است. این جهت، همان خط مماس است که باعث میشود وسیله شما به نرمی و بدون لغزش بچرخد .
حرکت سیارات و ماهوارهها اگر مسیر بیضیشکل حرکت یک سیاره به دور خورشید را در یک بازه زمانی بسیار بسیار کوتاه در نظر بگیریم، این مسیر تقریباً به صورت یک خط راست دیده میشود که بر مدار آن مماس است . این مفهوم در محاسبه مسیر ماهوارهها نیز کاربرد دارد.
بازیها و ورزشها در بازی بیلیارد، وقتی توپ سفید به توپ رنگی برخورد میکند، جهت حرکت توپ رنگی (اگر برخورد ایدهآل باشد) تقریباً بر دایره فرضی دور توپ سفید، مماس خواهد بود .
محاسبه طول خط مماس با قضیه فیثاغورس
با استفاده از ویژگی عمود بودن شعاع و مماس و قضیه معروف فیثاغورس، میتوانیم طول خط مماس را محاسبه کنیم. فرض کنید فاصله یک نقطه خارجی $ P $ تا مرکز دایره ($ O $) برابر $ 13 $ سانتیمتر و شعاع دایره $ 5 $ سانتیمتر باشد. میخواهیم طول پاره مماس ($ PT $) را پیدا کنیم .
با وصل کردن نقاط $ O $، $ T $ و $ P $ یک مثلث قائمالزاویه تشکیل میشود که در آن $ OT $ (شعاع) و $ PT $ (مماس) دو ضلع عمود بر هم، و $ OP $ وتر مثلث است.
با جایگذاری اعداد: $ 13^2 = 5^2 + (PT)^2 $
$ 169 = 25 + (PT)^2 $
$ (PT)^2 = 144 $
در نتیجه طول خط مماس برابر است با: $ PT = \sqrt{144} = 12\ \text{سانتیمتر} $ .
پرسشهای مهم و اشتباهات رایج
پاسخ: خیر. این بزرگترین اشتباه رایج است. اگر خطی دایره را در دو نقطه لمس یا قطع کند، به آن خط قاطع میگویند، نه مماس. تعریف اصلی خط مماس، داشتن یک و فقط یک نقطه تماس است .
پاسخ: از هر نقطه خارج از یک دایره، دقیقاً دو خط مماس میتوان به آن دایره رسم کرد. همانطور که در روش رسم دیدیم، این دو خط از نقطه خارجی شروع شده و دایره را در دو نقطه مختلف لمس میکنند و طولهای برابر دارند .
پاسخ: برای اطمینان، باید دو شرط را بررسی کنید: ۱) خط فقط یک نقطه با دایره مشترک داشته باشد. ۲) شعاعی که از مرکز دایره به آن نقطه میرود، بر خط رسم شده عمود باشد. این عمود بودن را میتوان با گونیای 90 درجه بررسی کرد .
پاورقی
۱خط مماس (Tangent Line): خطی که یک منحنی (مانند دایره) را در یک نقطه لمس میکند بدون آنکه از آن عبور کند .
۲نقطه تماس (Point of Tangency): نقطهای که در آن خط مماس، دایره را لمس میکند .
۳خط قاطع (Secant Line): خطی که یک منحنی (مانند دایره) را در دو نقطه قطع میکند .
