فاصله یک نقطه از یک خط: اندازهگیری کوتاهترین مسیر
فاصله چیست و چرا «عمود» کوتاهترین است؟
در زندگی روزمره، وقتی میگوییم فاصلهٔ شهر الف تا جادهٔ اصلی، منظورمان کوتاهترین مسیری است که میتوان از شهر به آن جاده رسید. این مسیر حتماً به صورت یک راه فرعی مستقیم و عمود بر جاده است. اگر این راه فرعی کج باشد، مسیر طولانیتر خواهد شد.
در هندسه نیز دقیقاً همین است. برای یک نقطهی مفروض مانند $P(x_1, y_1)$ و یک خط مفروض، میتوان بینهایت پارهخط از نقطه به خط رسم کرد. اما تنها یکی از این پارهخطها کوتاهترین است و آن، پارهخطی است که بر خط موردنظر عمود میباشد. به این فاصله، فاصلهٔ عمودی یا فاصلهٔ اقلیدسی2 نقطه تا خط میگویند.
محاسبه فاصله در حالتهای ساده: خطوط افقی و عمودی
سادهترین حالت زمانی است که خط، موازی یکی از محورهای مختصات باشد. در این حالت، محاسبه فاصله بسیار آسان است و نیازی به فرمول پیچیدهای ندارد.
| نوع خط | معادلهٔ خط | نقطهٔ مثال | روش محاسبه فاصله | نتیجه |
|---|---|---|---|---|
| خط افقی | $y = c$ | $P(2, 5)$ | فاصلهٔ عمودی بین مختصات y نقطه و مقدار ثابت c | برای خط $y=3$: $d = |5 - 3| = 2$ |
| خط عمودی | $x = c$ | $Q(-1, 4)$ | فاصلهٔ افقی بین مختصات x نقطه و مقدار ثابت c | برای خط $x=2$: $d = | -1 - 2 | = 3$ |
مثال: فرض کنید یک جادهٔ کاملاً صاف و افقی داریم که روی نقشه با معادله $y = 10$ نشان داده شده است. یک روستا در نقطه $A(3, 15)$ قرار دارد. فاصلهٔ این روستا از جاده چقدر است؟ کافی است تفاضل مختصات y ها را حساب کنیم: $d = |15 - 10| = 5$ واحد. این همان طول مسیری است که باید برای رسیدن به جاده، مستقیماً به سمت پایین (یا بالا) طی کرد.
فرمول طلایی: فاصله نقطه از یک خط با معادله کلی
برای خطی که نه افقی است و نه عمودی، یعنی به صورت $y = mx + b$ یا بهتر بگوییم، به صورت کلی$Ax + By + C = 0$، از یک فرمول معروف استفاده میکنیم. این فرمول بر اساس مفهوم عمود و با استفاده از قضیه فیثاغورس به دست آمده است.
چگونگی استفاده گامبهگام:
۱. مطمئن شوید معادله خط به فرم $Ax + By + C = 0$ است (همهچیز به یک سمت تساوی برده شده باشد).
۲. مقادیر $A$، $B$ و $C$ را شناسایی کنید.
۳. مختصات نقطه $(x_1, y_1)$ را در عبارت $Ax_1 + By_1 + C$ جایگزین کنید.
۴. قدرمطلق نتیجهٔ مرحلهٔ ۳ را بگیرید.
۵. مخرج را محاسبه کنید: جذر مجموع مربعات $A$ و $B$.
۶. صورت (مرحله ۴) را بر مخرج (مرحله ۵) تقسیم کنید.
مثالهای کاربردی در حل مسئله
مثال ۱ (پایهای): فاصله نقطه $P(1, 2)$ از خط $3x + 4y - 11 = 0$ را بیابید.
حل:
در اینجا $A=3$، $B=4$، $C=-11$ و $(x_1, y_1) = (1, 2)$.
صورت: $|3(1) + 4(2) - 11| = |3 + 8 - 11| = |0| = 0$.
مخرج: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
پس فاصله: $d = 0 / 5 = 0$. این یعنی نقطه P دقیقاً روی خط قرار دارد! (میتوان با جایگذاری مختصات نقطه در معادله خط نیز این را تأیید کرد).
مثال ۲ (کاربردی در نقشهبرداری): در یک طرح شهری، یک دیوار بلند از روی نقشه با معادله $2x - y + 5 = 0$ مشخص شده است. یک تیر چراغ برق در نقطه $T(-1, 3)$ نصب خواهد شد. مقررات شهری میگوید تیر چراغ باید حداقل 5 واحد از دیوار فاصله داشته باشد. آیا این مکان نصب، قانونی است؟
حل:
فاصله تیر از دیوار را محاسبه میکنیم: $A=2, B=-1, C=5$. نقطه: $(-1, 3)$.
صورت: $|2(-1) + (-1)(3) + 5| = | -2 -3 +5| = |0| = 0$.
مخرج: $\sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \approx 2.236$.
فاصله: $d \approx 0 / 2.236 = 0$. فاصله تقریباً صفر است، یعنی تیر دقیقاً چسبیده به دیوار است (یا روی خط دیوار قرار دارد). این با قانون حداقل 5 واحد فاصله، مغایرت کامل دارد. بنابراین مکان نصب غیرقانونی است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- فاصله یک نقطه از یک خط، کوتاهترین مسیر بین آن دو است که به صورت یک پارهخط عمود ظاهر میشود.
- برای خطوط افقی ($y=c$) و عمودی ($x=c$)، محاسبه فاصله بسیار ساده و با یک تفریق و قدرمطلق انجام میشود.
- برای خطوط به فرم کلی، از فرمول قدرتمند $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ استفاده میکنیم.
- این مفهوم در حل مسائل واقعی مانند طراحی شهری، تعیین موقعیت در نقشه و گرافیک کامپیوتری بسیار پرکاربرد است.
- همیشه قبل از استفاده از فرمول، از استاندارد بودن شکل معادله خط ($Ax+By+C=0$) و مثبت بودن نتیجه (با استفاده از قدرمطلق) اطمینان حاصل کنید.
پاورقی
1 پارهخط عمود (Perpendicular Segment): پارهخطی که بر یک خط یا صفحه دیگر، با زاویه ۹۰ درجه (قائمه) برخورد کند.
2 فاصله اقلیدسی (Euclidean Distance): فاصله مستقیم بین دو نقطه در فضای اقلیدسی که با استفاده از قضیه فیثاغورس محاسبه میشود.
3 بردار نرمال (Normal Vector): برداری که بر یک خط (یا صفحه) عمود است. برای خط $Ax+By+C=0$، بردار $(A, B)$ یک بردار نرمال است.
