بسامد زاوىه اى: سرعت زاویه‌ای نوسان بر حسب رادیان بر ثانیه

بروزرسانی شده در: 15:31 1404/09/17 مشاهده: 5 دسته بندی: کپسول آموزشی

بسامد زاویه‌ای: زبان ریاضی نوسان

سرعت زاویه‌ای نوسان بر حسب رادیان بر ثانیه و کلید درک حرکت‌های تناوبی از فنر تا مدارهای الکتریکی.

خلاصه: بسامد زاویه‌ای¹ یک مفهوم اساسی در فیزیک و ریاضیات است که سرعت تغییر فاز در یک حرکت نوسانی یا دورانی را توصیف می‌کند. این مقاله به‌زبان ساده، تعریف، رابطه‌ها، و کاربردهای عملی آن را برای دانش‌آموزان بررسی می‌کند. کلیدواژه‌های مهم این بحث عبارتند از: نوسان، بسامد، رادیان، و حرکت هارمونیک ساده.

بسامد چیست و چرا به سرعت زاویه‌ای نیاز داریم؟

برای درک بسامد زاویه‌ای، ابتدا باید با مفهوم نوسان آشنا شویم. هر حرکتی که به صورت منظم تکرار شود، یک حرکت نوسانی است. تعداد دفعات تکرار کامل این حرکت در هر ثانیه را بسامد² می‌نامیم و آن را با نماد $f$ نشان می‌دهیم و واحد آن هرتز (Hz) است. اما در محاسبات ریاضی، استفاده از زاویه و رادیان³ بسیار راحت‌تر است. یک دور کامل دایره برابر است با $2\pi$ رادیان. بنابراین، اگر جسمی با بسامد $f$ نوسان کند، در هر ثانیه $2\pi f$ رادیان تغییر فاز خواهد داشت. این مقدار دقیقاً همان بسامد زاویه‌ای است.

فرمول اصلی: اگر $f$ بسامد معمولی بر حسب هرتز و $T$ دوره تناوب بر حسب ثانیه باشد، بسامد زاویه‌ای ($\omega$) از روابط زیر به‌دست می‌آید:
$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$
واحد آن رادیان بر ثانیه (rad/s) است.

از تاب خوردن تا چرخش: انواع حرکت و بسامد زاویه‌ای

بسامد زاویه‌ای در دو دسته‌بندی کلی از حرکات کاربرد فراوان دارد:

۱. حرکت نوسانی یا ارتعاشی: مانند آونگ ساده یا جرم متصل به فنر. در اینجا، جسم روی یک خط راست به جلو و عقب حرکت می‌کند، اما می‌توان این حرکت را به حرکت یک نقطه روی دایره‌ای فرضی نسبت داد. $\omega$ سرعت گردش آن نقطه فرضی روی دایره است.

۲. حرکت دورانی یکنواخت: مانند چرخش یک چرخ‌و‌فلک یا یک دیسک حول مرکز خود. در این حرکت، جسم خودش واقعاً در حال چرخش با سرعت زاویه‌ای ثابت است. این سرعت زاویه‌ای دقیقاً همان $\omega$ است.

نوع حرکت	مثال	نقش بسامد زاویه‌ای ($\omega$)	رابطه با بسامد ($f$)
حرکت هارمونیک ساده (نوسانی)	جرم روی فنر، آونگ	تعیین کننده سرعت نوسان و موقعیت جسم در هر لحظه	$\omega = 2\pi f$
حرکت دورانی یکنواخت	چرخ دوچرخه، پنکه سقفی	سرعت واقعی چرخش جسم (چند رادیان در ثانیه می‌چرخد)	$\omega = 2\pi f$
نوسان در مدارهای الکتریکی	سیم‌پیچ و خازن (مدار LC)	تعیین کننده بسامد نوسان جریان و ولتاژ	$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

محاسبه و کاربرد: از فنر آزمایشگاه تا جریان متناوب خانه

بیایید با یک مثال ساده شروع کنیم. فرض کنید آونگی در هر 5 ثانیه، 10 بار کامل نوسان می‌کند. ابتدا دوره تناوب ($T$) را محاسبه می‌کنیم: $T = 5 / 10 = 0.5$ ثانیه. سپس بسامد: $f = 1 / T = 2$ هرتز. حالا بسامد زاویه‌ای: $\omega = 2\pi \times 2 = 4\pi$ رادیان بر ثانیه. این عدد نشان می‌دهد که نقطه فرضی متناظر با آونگ روی دایره، با سرعت $4\pi$ راد بر ثانیه در حال حرکت است.

یک کاربرد بسیار مهم، در جریان متناوب⁴ (برق خانه‌ها) است. برق شهر در ایران دارای بسامد 50 هرتز است. بنابراین، بسامد زاویه‌ای آن برابر است با: $\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ راد بر ثانیه. این عدد در تمام معادلات مربوط به تحلیل مدارهای AC ظاهر می‌شود و محاسبه ولتاژ و جریان لحظه‌ای را ممکن می‌سازد.

مثال عملی فنر: اگر جرم $m$ به فنری با ثابت $k$ متصل باشد، بسامد زاویه‌ای نوسان آن از رابطه $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ به‌دست می‌آید. مثلاً برای $m=1 kg$ و $k=100 N/m$، خواهیم داشت: $\omega = \sqrt{100} = 10$ راد بر ثانیه.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سؤال ۱: آیا بسامد زاویه‌ای ($\omega$) با سرعت زاویه‌ای در حرکت دایره‌ای یکسان است؟

پاسخ: بله، از نظر عددی و واحد یکسان هستند (رادیان بر ثانیه). اما کاربرد آنها می‌تواند متفاوت باشد. در حرکت دایره‌ای یکنواخت، $\omega$ سرعت واقعی چرخش است. در حرکت نوسانی، $\omega$ یک مفهوم ریاضی برای ساده‌سازی محاسبات است و جسم روی خط راست حرکت می‌کند.

سؤال ۲: اشتباه رایج در تبدیل واحدها چیست؟ چرا نمی‌توان بسامد زاویه‌ای را بر حسب دور بر ثانیه بیان کرد؟

پاسخ: دور بر ثانیه واحد بسامد معمولی ($f$) است، نه بسامد زاویه‌ای ($\omega$). رابطه این دو $\omega = 2\pi f$ است. پس $\omega$ همواره از $f$ بزرگ‌تر است. فراموش کردن ضریب $2\pi$ رایج‌ترین اشتباه است.

سؤال ۳: چرا در فرمول‌های فیزیک مانند $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ از $\omega$ استفاده می‌کنیم و نه $f$؟

پاسخ: چون آرگومان توابع مثلثاتی (مانند سینوس) باید یک زاویه باشد. $\omega t$ حاصل‌ضرب سرعت زاویه‌ای در زمان، دقیقاً مقدار زاویه تغییر یافته را بر حسب رادیان به ما می‌دهد ($\text{راد} = (\text{راد/ثانیه}) \times \text{ثانیه}$). استفاده از $f$ مستلزم نوشتن $2\pi f t$ است که در واقع همان $\omega t$ می‌شود.

جمع‌بندی: بسامد زاویه‌ای ($\omega$) یک ابزار ریاضی قدرتمند و ضروری برای توصیف نوسان‌ها و چرخش‌ها است. این مفهوم پلی بین درک شهودی ما از بسامد (تعداد دفعات تکرار) و دنیای ریاضیات پیوسته (با استفاده از رادیان) ایجاد می‌کند. از محاسبه حرکت یک آونگ ساده تا طراحی پیچیده‌ترین مدارهای الکترونیکی و مخابراتی، $\omega$ نقشی کلیدی ایفا می‌کند. به خاطر سپردن رابطه اصلی $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ و واحد آن (راد بر ثانیه) اولین گام برای تسلط بر این مفهوم است.

پاورقی

¹ بسامد زاویه‌ای (Angular frequency) - همچنین با نام سرعت زاویه‌ای (Angular speed) در حرکت دورانی نیز شناخته می‌شود.
² بسامد (Frequency) - تعداد چرخه‌های کامل نوسان در واحد زمان.
³ رادیان (Radian) - واحد استاندارد اندازه‌گیری زاویه در سیستم بین‌المللی (SI). تعریف آن نسبت طول کمان به شعاع دایره است.
⁴ جریان متناوب (Alternating Current - AC) - نوعی جریان الکتریکی که جهت و اندازه آن به طور متناوب با زمان تغییر می‌کند.

حرکت هارمونیک ساده بسامد رادیان دوره تناوب سرعت زاویه‌ای

بسامد زاوىه اى Angular frequency فیزیک دوازدهم پایه دوازدهم

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!