گستردهٔ مکعب مستطیل: نقشهای برای ساختن اشکال سهبعدی
گسترده چیست و چگونه کار میکند؟
فرض کنید یک جعبه شیرینی دارید. اگر تمام درزهای جعبه را باز کنید و آن را کاملاً پهن روی میز بگذارید، به شکلی از چند مستطیل به هم چسبیده میرسید. این شکل پخششده همان گسترده است. گسترده مثل یک نقشه یا الگو است که با تا کردن آن در امتداد خطهای مناسب، میتوان دوباره جسم اصلی را ساخت.
برای مکعب مستطیل، گستردهها میتوانند شکلهای مختلفی داشته باشند، اما همهی آنها یک ویژگی مشترک دارند: همیشه از 6 مستطیل تشکیل شدهاند که نشاندهنده 6 وجه مکعب مستطیل هستند. این وجهها به صورت جفتهای برابر روبروی هم قرار میگیرند.
| نام الگو | شکل کلی | مثال در زندگی |
|---|---|---|
| الگوی صلیبی (T یا +) | چهار مستطیل در یک ردیف و دو مستطیل دیگر در دو طرف ردیف وسط | بیشتر جعبههای شیر، آبمیوه و بستهبندیهای شکلات |
| الگوی نردهای | هر شش مستطیل در یک ستون کنار هم چیده شدهاند | برخی از جعبههای دستمال کاغذی یا بستههای قرص |
| الگوی L شکل | چیدمانی شبیه حرف L فارسی | برخی جعبههای هدیه و اسباببازی |
رابطهٔ گسترده با مساحت کل مکعب مستطیل
یکی از مهمترین کاربردهای گسترده، محاسبهٔ مساحت کل است. مساحت کل یعنی مجموع مساحت همه وجههای یک جسم. از آنجایی که گسترده، همهٔ وجهها را در کنار هم نشان میدهد، برای محاسبهٔ مساحت کل بسیار مناسب است.
فرمول مساحت کل مکعب مستطیل با ابعاد طول ($l$)، عرض ($w$) و ارتفاع ($h$) به صورت زیر است:
مثال: یک آجر با طول 20 سانتیمتر، عرض 10 سانتیمتر و ارتفاع 5 سانتیمتر را در نظر بگیرید. اگر گستردهٔ آن را بکشید، سه اندازهٔ مستطیل مختلف خواهید داشت. محاسبه مساحت کل:
$A = (2 \times 20 \times 10) + (2 \times 20 \times 5) + (2 \times 10 \times 5)$
$= 400 + 200 + 100 = 700$ سانتیمتر مربع.
این عدد دقیقاً برابر است با مساحت کاغذی که برای پوشاندن کامل سطح آجر نیاز دارید.
ساختن مکعب مستطیل از گسترده: از نقشه تا حجم
برای ساختن یک مکعب مستطیل از روی گسترده، باید مراحل زیر را طی کنید:
۱. گسترده را روی یک مقوا بکشید و با دقت ببرید.
۲. خطهای تا را با خطکش و نوک خودکار (بدون جوهر) روی مقوا فشار دهید تا به راحتی خم شوند.
۳. وجههای کناری را به سمت بالا تا بزنید.
۴. با استفاده از چسب، لبههای متصل شونده را به هم بچسبانید.
این فرآیند دقیقاً همان کاری است که کارخانههای تولید جعبه انجام میدهند! آنها ابتدا نقشه (گسترده) جعبه را روی مقوای بزرگ چاپ میکنند، سپس آن را برش داده و ماشینآلات به طور خودکار آن را تا کرده و میچسبانند.
کاربرد عملی: وقتی میخواهید یک جعبهٔ اختصاصی برای هدیه درست کنید، ابتدا باید گستردهٔ آن را طراحی کنید. اندازههای وجهها را طوری انتخاب میکنید که پس از تا شدن، حجم[3] دلخواه شما را ایجاد کند. حجم مکعب مستطیل از ضرب طول و عرض و ارتفاع به دست میآید: $V = l \times w \times h$.
سوالهای مهم و اشتباهات رایج
- گسترده، شکل دوبعدی بازشدهٔ یک جسم سهبعدی است که از تمام وجههای آن تشکیل شده.
- گستردهٔ مکعب مستطیل همیشه شامل ۶ مستطیل (در سه اندازهٔ مختلف) است.
- گسترده ابزاری عالی برای درک و محاسبهٔ مساحت کل است: $A = 2lw + 2lh + 2wh$.
- با تا کردن گسترده در امتداد خطوط مناسب و چسباندن لبهها، میتوان مکعب مستطیل اصلی را ساخت.
- این مفهوم در طراحی و ساخت بسیاری از بستهبندیهای اطراف ما به کار رفته است.
پاورقی
[1] مکعب مستطیل (Rectangular Prism): به جسم سهبعدی گفته میشود که همهٔ وجههای آن مستطیل هستند. مانند آجر، جعبه کفش و کتاب.
[2] مساحت کل (Total Surface Area): مجموع مساحت تمام وجههای یک جسم سهبعدی.
[3] حجم (Volume): مقدار فضایی که یک جسم سهبعدی اشغال میکند. واحد آن «مکعب» (سانتیمتر مکعب، متر مکعب) است.
