ضرب عبارتهای گویا: سادهسازی کسرهای جبری
عبارت گویا چیست و چه شباهتی به کسر عددی دارد؟
عبارت گویا در واقع کسری است که صورت و مخرج آن هر کدام یک چندجملهای هستند. چندجملهایها میتوانند یک جمله ساده مثل $3x$ یا چند جمله مثل $x^2 - 4$ باشند. به مثالهای زیر دقت کنید:
| عبارت گویا (کسر جبری) | صورت (چندجملهای) | مخرج (چندجملهای) |
|---|---|---|
| $\frac{2}{x}$ | 2 (عدد ثابت) | $x$ |
| $\frac{x+1}{3}$ | $x+1$ | 3 (عدد ثابت) |
| $\frac{a^2 - 9}{a - 3}$ | $a^2 - 9$ | $a - 3$ |
همانطور که میبینید، این کسرها دقیقاً شبیه کسرهای عددی هستند، فقط به جای اعداد مشخص، از متغیرهایی مانند $x$ و $a$ استفاده کردهاند. یادتان میآید چگونه کسرهای عددی را ضرب میکردیم؟ قاعده اصلی این بود: "صورت کسر اول در صورت کسر دوم" و "مخرج کسر اول در مخرج کسر دوم". این قاعده دقیقاً برای عبارتهای گویا هم صادق است.
برای دو عبارت گویای $\frac{A}{B}$ و $\frac{C}{D}$ داریم:
مراحل گامبهگام ضرب و سادهسازی
ضرب عبارتهای گویا فقط در یک مرحله تمام نمیشود. برای رسیدن به جواب نهایی و ساده، باید مراحل زیر را به ترتیب انجام دهیم:
| مرحله | کاری که باید انجام دهیم | مثال: $\frac{x}{x+2} \times \frac{x+2}{3}$ |
|---|---|---|
| ۱ | ضرب صورتها و مخرجها: طبق قاعده اصلی، صورتها را در هم و مخرجها را در هم ضرب میکنیم. | $\frac{x \times (x+2)}{(x+2) \times 3} = \frac{x(x+2)}{3(x+2)}$ |
| ۲ | تجزیه چندجملهایها (در صورت نیاز): عبارتهای به دست آمده در صورت و مخرج را تا حد ممکن تجزیه میکنیم (مثلاً فاکتورگیری میکنیم). | در این مثال، عبارت $x(x+2)$ و $3(x+2)$ از قبل تجزیه شدهاند. |
| ۳ | سادهسازی عوامل مشترک: هر عامل مشترکی که هم در صورت و هم در مخرج ظاهر شده است را حذف میکنیم (تقسیم بر آن عامل). | عامل $(x+2)$ در صورت و مخرج مشترک است. آن را حذف میکنیم: $\frac{x \cancel{(x+2)}}{3 \cancel{(x+2)}} = \frac{x}{3}$ |
| ۴ | نوشتن جواب نهایی: عبارت سادهشده نهایی را به عنوان حاصل ضرب مینویسیم. | حاصل ضرب:$\frac{x}{3}$ |
کاربرد ضرب عبارتهای گویا در دنیای اطراف ما
شاید بپرسید این محاسبات خشک ریاضی چه ربطی به زندگی دارد؟ اجازه بدهید با یک مثال ساده توضیح دهیم:
فرض کنید یک باغچه مستطیلی داریم. طول این باغچه $\frac{x}{2}$ متر و عرض آن $\frac{4}{x+1}$ متر است. برای محاسبه مساحت باغچه، باید طول و عرض را در هم ضرب کنیم (همان فرمول مساحت مستطیل).
پس مساحت میشود: $(\frac{x}{2}) \times (\frac{4}{x+1})$
طبق قاعده ضرب عبارتهای گویا: $\frac{x \times 4}{2 \times (x+1)} = \frac{4x}{2(x+1)}$
حالا سادهسازی میکنیم. صورت و مخرج هر دو بر ۲ بخشپذیر هستند: $\frac{4x}{2(x+1)} = \frac{2 \times 2x}{2(x+1)} = \frac{2x}{x+1}$
بنابراین فرمول نهایی مساحت باغچه ما $\frac{2x}{x+1}$ متر مربع است. حالا اگر مثلاً $x=3$ (یعنی طول $\frac{3}{2}=1.5$ متر باشد)، میتوانیم مساحت واقعی را حساب کنیم: $\frac{2 \times 3}{3+1} = \frac{6}{4} = 1.5$ متر مربع. میبینید که چگونه ریاضیات انتزاعی به یک محاسبه عملی تبدیل شد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
$\frac{x-1}{2} \times \frac{4}{x-1}$ . میبینیم که $(x-1)$ در صورت اول و مخرج دوم است. پس میتوانیم مستقیماً آنها را حذف و فقط $\frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = 2$ را حساب کنیم.
- ضرب عبارتهای گویا دقیقاً از قاعده ضرب کسرهای عددی پیروی میکند: ضرب صورتها در هم و ضرب مخرجها در هم.
- همیشه بعد از ضرب، با تجزیه و پیدا کردن عوامل مشترک، عبارت را تا حد امکان سادهسازی کنید.
- میتوانید برای راحتتر شدن محاسبات، قبل از ضرب نیز عوامل مشترک بین صورت یک کسر و مخرج کسر دیگر را ساده کنید.
- هرگز صورتها و مخرجها را با هم جمع یا تفریق نکنید. این قانون فقط برای ضرب کاربرد دارد.
- همیشه به یاد داشته باشید که مخرج هیچ کسری، حتی بعد از سادهسازی، نباید صفر باشد.
پاورقی
1عبارت گویا (Rational Expression): کسری که صورت و مخرج آن هر دو چندجملهای هستند.
2تجزیه چندجملهای (Factoring a Polynomial): نوشتن یک چندجملهای به صورت حاصل ضرب چندجملهایهای سادهتر.
3صفر نبودن مخرج (Non-zero Denominator): شرط اساسی در تعریف کسر و عبارت گویا؛ زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است.
