جواب مشترک: نقطهٔ تلاقی دو خط
معادله خط و دستگاه معادلات چیست؟
یک معادلهٔ خط، مانند $y = 2x + 1$، نشاندهندهٔ یک خط راست روی صفحهٔ مختصات است. هر نقطه روی این خط، یک جواب برای معادله است. حالا اگر دو معادلهٔ خطی مختلف داشته باشیم، به مجموعهٔ آنها یک دستگاه معادلات خطی میگوییم. هدف ما پیدا کردن نقطهای (x , y) است که در هر دو معادله صدق کند.
به بیان سادهتر، فرض کنید خط اول مسیر حرکت مورچهای روی زمین و خط دوم مسیر حرکت کفشدوزکی روی همان صفحه است. جواب مشترک، همان محل برخورد یا ملاقات این دو حشره است! اگر چنین نقطهای وجود داشته باشد، یعنی دو خط همدیگر را قطع کردهاند.
در این فرمول، m نشاندهندهٔ شیب5 خط و b نشاندهندهٔ عرض از مبدأ6 است.
روشهای یافتن نقطهٔ تلاقی
برای پیدا کردن جواب مشترک دو معادله، روشهای مختلفی وجود دارد. دو روش اصلی و ساده که در پایهٔ نهم با آنها آشنا میشوید، در جدول زیر مقایسه شدهاند:
| نام روش | توضیح کوتاه | زمان استفاده | مثال |
|---|---|---|---|
| روش جایگزینی7 | در یکی از معادلهها، یک متغیر را برحسب متغیر دیگر مینویسیم و در معادلهٔ دیگر جایگزین میکنیم. | وقتی یک معادله به راحتی قابل حل برای یک متغیر باشد. | $\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 9 \end{cases}$ |
| روش حذف8 | دو معادله را با هم جمع یا تفریق میکنیم تا یکی از متغیرها حذف شود. | وقتی ضرایب یک متغیر در دو معادله قرینه یا برابر باشد. | $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$ |
بیایید با یک مثال روش جایگزینی را گام به گام دنبال کنیم:
مثال: نقطهٔ برخورد خطوط $y = x + 2$ و $y = 3x - 4$ را پیدا کنید.
گام ۱: چون هر دو معادله y را برحسب x دادهاند، میتوانیم آنها را مساوی قرار دهیم (این هم نوعی جایگزینی است):
$x + 2 = 3x - 4$
گام ۲: معادله را برای x حل میکنیم:
$2 + 4 = 3x - x$
$6 = 2x$
$x = 3$
گام ۳: مقدار x را در یکی از معادلههای اولیه جایگزین میکنیم تا y بدست آید:
$y = (3) + 2 = 5$
گام ۴: جواب مشترک به صورت یک زوج مرتب نوشته میشود: $(3 , 5)$. این نقطه روی هر دو خط قرار دارد.
کاربرد در دنیای واقعی: برنامهریزی و تصمیمگیری
شاید بپرسید این محاسبات به چه درد زندگی میخورد؟ تصور کنید شما یک کسبوکار کوچک فروش بستنی و نوشابه دارید.
- معادلهٔ درآمد: اگر سود هر بستنی 3000 تومان و هر نوشابه 2000 تومان باشد، کل سود شما میشود: $S = 3000b + 2000n$ (در اینجا S سود، b تعداد بستنی و n تعداد نوشابه است).
- معادلهٔ هزینه: شما فقط 12000 تومان سرمایه برای خرید کالا دارید و قیمت خرید هر بستنی 1500 تومان و هر نوشابه 1000 تومان است: $1500b + 1000n = 12000$.
حالا شما دو معادله دارید (یکی برای سود و یکی برای محدودیت بودجه). جواب مشترک این دستگاه، تعداد بهینهٔ بستنی و نوشابهای را نشان میدهد که با بودجهتان منطبق باشد و بیشترین سود ممکن را ببرید! این یک تصمیمگیری ساده و کاربردی بر پایهٔ ریاضی است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- یک جواب (تلاقی): دو خط یک نقطهٔ مشترک دارند (شیبهای متفاوت).
- بینهایت جواب: دو خط کاملاً بر هم منطبق هستند (همهٔ نقاط مشترکند).
- بدون جواب: دو خط موازی هستند و هیچ نقطهٔ مشترکی ندارند.
پاورقی
1جواب مشترک (Common Solution): زوج مرتب (x , y) که در تمام معادلات یک دستگاه صدق کند.
2مختصات نقطه (Coordinates of a Point): یک جفت مرتب که مکان یک نقطه را در صفحهٔ مختصات مشخص میکند.
3نقطهٔ تلاقی (Intersection Point): نقطهای که دو یا چند خط یا منحنی در آن یکدیگر را قطع میکنند.
4دستگاه معادلات خطی (System of Linear Equations): مجموعهای از دو یا چند معادلهٔ خطی که متغیرهای مشترک دارند.
5شیب (Slope): عددی که نشاندهندهٔ تندى و جهت یک خط است.
6عرض از مبدأ (y-intercept): نقطهای که خط، محور عرضها (y) را قطع میکند.
7روش جایگزینی (Substitution Method).
8روش حذف (Elimination Method).
