شیب خط: رمزگشایی از سرعت تغییر
معادله خط و اجزای سازنده آن
هر خط راست در صفحه مختصات را میتوان با یک معادله به شکل $ y = ax + b $ نشان داد. این معادله مثل یک دستور العمل عمل میکند که به ازای هر مقدار x، مقدار متناظر y را به ما میدهد. در این معادله، bعرض از مبدأ[2] است، یعنی نقطهای که خط، محور yها را قطع میکند. اما ستاره اصلی داستان ما، ضریب a یا همان شیب[3] خط است.
شیب، میزان تغییر متغیر y را به ازای هر واحد افزایش در متغیر x نشان میدهد.
تندی خط به چه معناست؟
واژه «تندی» در اینجا دقیقاً مانند تندی یک سربالایی است. فرض کنید دو جاده متفاوت به یک قله منتهی میشوند. جادهای که در فاصله کوتاهتری ارتفاع زیادی را طی کند (مثل پیست اسکی)، تند و پر شیب است. جادهای که با همان ارتفاع، فاصله طولانیتری را طی کند، ملایم و کم شیب است. در معادله خط، مقدار مطلق a[1] مسئول تعیین این تندی است. هرچه |a| بزرگتر باشد، خط برای یک تغییر افقی ثابت، تغییر عمودی بیشتری دارد و در نتیجه تندتر میشود.
| معادله خط | مقدار شیب (a) | مقدار مطلق (|a|) | تندی خط | مثال در زندگی |
|---|---|---|---|---|
| $ y = 0.5x + 1 $ | 0.5 | 0.5 | ملایم | شیب آرام یک پیادهرو در پارک |
| $ y = 2x - 3 $ | 2 | 2 | متوسط | سراشیبی قابل توجه یک خیابان |
| $ y = 5x + 0 $ | 5 | 5 | خیلی تند | دیواره سنگی یک کوه |
| $ y = -4x + 2 $ | -4 | 4 | تند (نزولی) | سرازیری تند یک جاده کوهستانی |
شیب خط در دنیای اطراف ما
بیایید این مفهوم انتزاعی را در چند سناریوی واقعی ببینیم:
مثال ۱: رشد یک گیاه
فرض کنید ارتفاع یک گیاه (y بر حسب سانتیمتر) بر حسب تعداد روزها (x) با معادله $ y = 1.2x + 5 $ نشان داده شود. شیب 1.2 یعنی گیاه هر روز به طور متوسط 1.2 سانتیمتر رشد میکند. حالا گیاهی با معادله رشد $ y = 0.3x + 5 $ را در نظر بگیرید. مقدار مطلق شیب این گیاه (0.3) از گیاه اول کوچکتر است، پس سرعت رشد آن کمتر و خط نمودار رشد آن ملایمتر است.
مثال ۲: نمودار حقوق بر اساس ساعت کار
اگر برای هر ساعت کار، 20000 تومان حقوق بگیرید ($ y = 20000x $). اگر نرخ شما به 30000 تومان بر ساعت افزایش یابد ($ y = 30000x $)، شیب خط از 20000 به 30000 میرسد. خط جدید تندتر بالا میرود، یعنی با افزایش هر ساعت کار، حقوق شما سریعتر رشد میکند. در اینجا |a| بزرگتر نشاندهنده نرخ پرداخت بهتر است.
مثال ۳: مصرف سوخت خودرو
اگر معادله $ y = -0.08x + 50 $ نشاندهنده مقدار بنزین باک (y بر حسب لیتر) پس از پیمودن x کیلومتر باشد، شیب -0.08 است. |a|=0.08 به ما میگوید خودرو به ازای هر یک کیلومتر حرکت، 0.08 لیتر بنزین مصرف میکند. خودرویی پر مصرفتر که در هر کیلومتر 0.12 لیتر مصرف کند، |a|=0.12 خواهد داشت. خط مربوط به مصرف این خودرو تندتر پایین میآید، یعنی بنزین باک آن با سرعت بیشتری کاهش مییابد.
پرسشهای مهم و اشتباهات رایج
- خط افقی (مثل y = 4): در این خط، y هیچ تغییری نمیکند، بنابراین شیب a = 0 است. |a|=0، پس کمترین تندی ممکن را دارد (کاملاً تخت).
- خط عمودی (مثل x = 3): این خط را نمیتوان به شکل y = ax + b نوشت. زیرا تغییر در x صفر است و طبق فرمول شیب، مخرج کسر صفر میشود که تعریف نشده است. میگوییم شیب خط عمودی تعریف نشده است. به طور شهودی، این خط بینهایت تند است!
پاورقی
1مقدار مطلق (Absolute Value): نشاندهنده اندازه یا فاصله یک عدد از صفر است، بدون در نظر گرفتن علامت آن. به صورت |a| نمایش داده میشود. مثلاً |5| = 5 و |-5| = 5. (معادل انگلیسی: Absolute Value)
2عرض از مبدأ (y-intercept): نقطهای که خط، محور عمودی (y) را قطع میکند. در معادله $ y = ax + b $، این نقطه برابر با (0, b) است. (معادل انگلیسی: y-intercept)
3شیب (Slope): میزان کجشدگی یا تندی یک خط راست. در ریاضیات به صورت نسبت تغییر عمودی به تغییر افقی بین دو نقطه روی خط تعریف میشود. (معادل انگلیسی: Slope)
