تکجملهای سادهشده: تبدیل پیچیدگی به سادگی
تکجملهای چیست؟ از اعداد تا حروف!
یک تکجملهای سادهترین بلوک سازنده در جبر است. میتوانید آن را مانند یک آجر در نظر بگیرید. یک آجر به تنهایی مفید است، اما با کنار هم گذاشتن آجرهای مشابه، میتوان سازههای بزرگتری ساخت. در ریاضی، یک تکجملهای میتواند یکی از این سه حالت باشد:
| نوع | توضیح | مثالها |
|---|---|---|
| عدد ثابت | فقط یک عدد به تنهایی. | 5 ، -2 ، 0.75 |
| متغیر بهتنهایی | فقط یک حرف که نشاندهندهٔ یک عدد ناشناخته است. | x ، a ، y |
| حاصلضرب عدد و متغیر | یک عدد (به نام ضریب) در یک یا چند متغیر. | $3x$ ، $-5a^2$ ، $\frac{1}{2}xy$ |
سادهسازی چگونه انجام میشود؟ قانون یکانیهای مشابه
وقتی چند تکجملهای با هم جمع یا از هم تفریق میشوند، یک چندجملهای3 ساده تشکیل میدهند. سادهسازی یعنی در یک چندجملهای، تکجملههای مشابه را با هم ترکیب کنیم. دو تکجمله مشابه هستند اگر بخش حرفی (متغیرها و توانهای آنها) دقیقاً یکسان باشد.
مثال عددی: فرض کنید در یک خرید، 3 عدد خودکار و 2 عدد خودکار دیگر بخرید. میگوییم 3 خودکار بهعلاوهٔ 2 خودکار. اگر خودکار را با حرف $x$ نشان دهیم، میشود: $3x + 2x$. حالا ضرایب (اعداد 3 و 2) را جمع میکنیم: 3+2=5. پس جواب سادهشده میشود $5x$. این یعنی در کل 5 خودکار دارید.
از دفترچهٔ مخارج تا حل مسئله: کاربرد سادهسازی در زندگی
شما هر ماه مقداری پول برای بازی، خوراکی و وسیلهتحریر کنار میگذارید. فرض کنید هزینهٔ بازی را با $b$، خوراکی را با $f$ و وسیلهتحریر را با $p$ نشان میدهیم. در هفتهٔ اول $2b + 4f + 1p$ تومان خرج کردید. در هفتهٔ دوم $3b + 2f + 2p$ تومان. برای محاسبهٔ کل مخارج دو هفته، باید مقادیر مشابه را با هم جمع کنیم:
خودکارها (b): $2b + 3b = 5b$
خوراکیها (f): $4f + 2f = 6f$
وسیلهتحریرها (p): $1p + 2p = 3p$
پس کل مخارج سادهشده میشود: $5b + 6f + 3p$. این روش به شما کمک میکند بدون گم شدن در اعداد، تصویر روشنی از هزینههای خود داشته باشید.
| عبارت اولیه | تکجملههای مشابه | حاصل سادهشده |
|---|---|---|
| $7y + 3 - 2y + 1$ |
$7y$ و
$-2y$ (متغیر y) 3 و 1 (اعداد ثابت) |
$5y + 4$ |
| $4a^2 + 3a - 2a^2 + a$ |
$4a^2$ و
$-2a^2$ (متغیر $a^2$) $3a$ و $a$ (متغیر $a$) |
$2a^2 + 4a$ |
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. چون $x$ و $y$ متغیرهای متفاوتی هستند، تکجملهها مشابه نیستند و نمیتوان ضرایب آنها را ترکیب کرد. این عبارت هماکنون به شکل سادهشدهٔ خود است.
پاسخ: یکی از بزرگترین اشتباهات، جمع کردن ضرایب تکجملههایی است که بخش حرفی متفاوت دارند. مثلاً در عبارت $3m + 5m^2$، بعضی ممکن است بگویند 8، اما این اشتباه است! $m$ با $m^2$ فرق دارد (مانند یک سیب و یک کیوی). پس این عبارت را نمیتوان بیشتر ساده کرد.
پاسخ: خیر، مهم نیست. شما میتوانید ابتدا همهٔ عبارتهای مثبت و منفی مشابه را پیدا کنید و سپس آنها را با هم جمع و تفریق کنید. قانون جابهجایی4 جمع به ما این اجازه را میدهد.
پاورقی
1 سادهسازی (Simplification): فرآیند کوتاه کردن و خلاصه کردن یک عبارت ریاضی بدون تغییر دادن ارزش آن.
2 ضریب (Coefficient): عددی که در یک تکجمله در کنار متغیر(ها) ضرب شده است. مثلاً در $6xy$، عدد 6 ضریب است.
3 چندجملهای (Polynomial): عبارت جبریای که از جمع یا تفریق چند تکجمله تشکیل شده باشد.
4 قانون جابهجایی (Commutative Law): در جمع و ضرب، تغییر جای عبارتها نتیجه را تغییر نمیدهد ($a+b = b+a$).
