تکجملهای: ساختمانهای ریاضی در دنیای اطراف ما
اجزای تشکیلدهنده یک تکجملهای
یک تکجملهای مانند یک بلوک ساختمانی در ریاضیات است. برای درک آن، باید اجزای آن را بشناسیم. هر تکجملهای از سه بخش اصلی تشکیل شده است:
| نام جزء | تعریف | مثال |
|---|---|---|
| ضریب (عدد ثابت) | یک عدد حقیقی که در ابتدای عبارت قرار میگیرد. میتواند مثبت، منفی، کسری یا اعشاری باشد. | در $5x^2y$، ضریب عدد 5 است. |
| متغیر | نمادی (معمولاً حروف) که نشاندهنده یک مقدار ناشناخته یا متغیر است. مانند x، a، عرض. | در $-3a$، متغیر a است. |
| توان (نما) | عدد کوچکی که در بالای متغیر نوشته میشود و نشان میدهد آن متغیر چند بار در خودش ضرب شده است. در تکجملهای باید صحیح و نامنفی (صفر یا بزرگتر) باشد. | در $x^3$، توان عدد 3 است: $x \times x \times x$. |
به طور خلاصه: $kx^ny^m$ که در آن $k$ یک عدد حقیقی و $n$ و $m$ اعداد صحیح نامنفی هستند.
درجه تکجملهای و مقایسه آنها
درجه3 یک تکجملهای معیاری برای سنجش «پیچیدگی» یا «بزرگی» نسبی آن است. برای محاسبه درجه، توان تمام متغیرها را با هم جمع میکنیم. اگر متغیری بدون توان نوشته شده باشد، توان آن 1 در نظر گرفته میشود. اگر فقط یک عدد ثابت باشد (بدون متغیر)، درجه آن صفر است.
مثال: فرض کنید در درس علوم، رابطه حجم یک مکعبمستطیل را مطالعه کردهاید: $حجم = طول \times عرض \times ارتفاع$. اگر طول، عرض و ارتفاع را با متغیرهای $l$، $w$ و $h$ نشان دهیم، فرمول حجم میشود یک تکجملهای: $V = l w h$. در اینجا ضریب 1 است و هر سه متغیر توان 1 دارند. پس درجه این تکجملهای است: $1+1+1=3$.
| تکجملهای | ضریب | متغیرها و توانها | درجه (جمع توانها) |
|---|---|---|---|
| $7$ | 7 | هیچ متغیری ندارد. | 0 |
| $-2x$ | -2 | $x^1$ | 1 |
| $\frac{1}{4}a^2b^3$ | $\frac{1}{4}$ | $a^2$ و $b^3$ | 2+3=5 |
| $5x^2y$ | 5 | $x^2$ و $y^1$ | 2+1=3 |
ضرب تکجملهها و مدلسازی موقعیتهای واقعی
ضرب تکجملهها بسیار ساده است: ضرایب را در هم ضرب میکنیم و متغیرهای یکسان را با جمع توانهایشان کنار هم مینویسیم. این عمل دقیقاً شبیه به محاسباتی است که هر روز انجام میدهیم.
مثال ۱ (خرید از مغازه): تصور کنید قیمت هر بسته مداد $p$ تومان است. شما 3 بسته و دوست شما 2 بسته میخرد. مجموع هزینه شما چقدر است؟
هزینه شما: $3 \times p = 3p$
هزینه دوست شما: $2 \times p = 2p$
حالا اگر بخواهیم کل مدادهای خریداری شده را حساب کنیم، تعداد بستهها را ضربدر تعداد مداد در هر بسته ($n$) میکنیم:
$(3+2) \times n = 5n$. این یک تکجملهای جدید است.
مثال ۲ (محاسبه مساحت): مساحت یک مستطیل برابر است با $طول \times عرض$. اگر طول یک زمین $2x$ متر و عرض آن $3x$ متر باشد، مساحت آن به صورت زیر محاسبه میشود:
مرحله ۱: ضرب ضرایب: $2 \times 3 = 6$
مرحله ۲: ضرب متغیرها: $x \times x = x^{1+1} = x^2$
نتیجه:$مساحت = 6x^2$
این یک تکجملهای جدید با درجه 2 است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. زیرا در تعریف تکجملهای، فقط عمل ضرب بین عدد و متغیرها مجاز است. وجود عمل جمع (+) این عبارت را به یک دو جملهای تبدیل میکند. تکجملهایها فقط یک عبارت هستند، نه چند عبارت که با جمع یا تفریق به هم وصل شدهاند.
پاسخ: هر عدد (غیرصفر) به توان صفر برابر با 1 است. بنابراین، آن متغیر از عبارت حذف میشود. مثال: $7x^2y^0 = 7x^2 \times 1 = 7x^2$. دقت کنید که صفر بودن توان با نداشتن آن متغیر یکسان است.
پاسخ: دو اشتباه بسیار رایج وجود دارد: ۱) جمع کردن توانهای متغیرهای غیریکسان: مثلاً در ضرب $x^2 \times y^3$، نمیتوانیم بنویسیم $x^5$ یا $y^5$. نتیجه صحیح $x^2y^3$ است. ۲) فراموش کردن ضرب ضرایب: در مثال مساحت، اگر ضرایب 2 و 3 را ضرب نکنیم، جواب غلط $x^2$ میشود.
پاورقی
1 تکجملهای (Monomial): یک عبارت جبری که از حاصلضرب یک عدد و یک یا چند متغیر با توانهای صحیح نامنفی تشکیل شده است.
2 ضریب (Coefficient): عدد ثابتی که در یک عبارت جبری، یک متغیر یا یک حاصلضرب از متغیرها در آن ضرب میشود.
3 درجه (Degree): در یک تکجملهای، مجموع توانهای تمام متغیرها را درجه آن تکجملهای مینامند.
