تشابه شکلهای همنهشت: از همسانی کامل تا تناسب زیبا
مفاهیم پایه: همنهشتی و تشابه به زبان ساده
قبل از بررسی رابطه، باید هر دو مفهوم را به خوبی بشناسیم. فرض کنید دو شکل هندسی داریم.
| مفهوم | معنی | شرط اصلی | مثال عینی |
|---|---|---|---|
| همنهشتیبرابر دقیق | دو شکل در همهچیز کاملاً یکسان هستند: اندازه ضلعها، اندازه زاویهها، مساحت و محیط. | ضلعهای نظیر برابر و زاویههای نظیر برابر باشند. | دو اسکناس 10000 تومانی چاپ شده در یک سال. آنها را روی هم قرار دهید، کاملاً منطبق میشوند. |
| تشابهتناسب زیبا | دو شکل «شبیه» هم هستند ولی لزوماً اندازه یکسان ندارند. مثل یک شکل و نسخه بزرگ یا کوچک شده آن. | زاویههای نظیر برابر و ضلعهای نظیر متناسب باشند (یسبت بین آنها ثابت باشد). | یک نقشه شهر و خود شهر. همه خیابانها زوایای یکسانی دارند ولی اندازهها در نقشه بسیار کوچکتر است. |
برای تشابه، اگر نسبت طول ضلعهای نظیر را «نسبت تشابه» بنامیم، داریم: اگر این نسبت برابر $k$ باشد، آنگاه مساحت دو شکل متشابه با نسبت $k^2$ و حجم (برای اجسام سهبعدی) با نسبت $k^3$ مرتبط است. برای همنهشتی، این نسبت تشابه همیشه برابر $1$ است.
چرا همنهشتی، حالت خاصی از تشابه است؟
حالا به سراغ اصل موضوع میرویم. برای اینکه دو شکل متشابه باشند، دو شرط لازم است:
۱. زاویههای نظیر برابر باشند.
۲. ضلعهای نظیر متناسب باشند (یعنی نسبت طول آنها ثابت باشد).
حالا برای دو شکل همنهشت، ما میدانیم که:
۱. زاویههای نظیر برابرند (این شرط اول تشابه را برآورده میکند).
۲. ضلعهای نظیر نه تنها متناسب، بلکه دقیقاً برابر هستند.
اگر ضلعها برابر باشند، نسبت بین آنها چقدر است؟ اگر طول هر ضلع در شکل اول را $a$ و طول ضلع نظیر در شکل دوم را $b$ بنامیم، در همنهشتی $a = b$ است. بنابراین نسبت $\frac{a}{b} = \frac{b}{b} = 1$ خواهد بود. نسبت $1$ هم یک عدد ثابت است! پس شرط دوم تشابه (تناسب ضلعها) نیز با نسبت ثابت $1$ برقرار میشود.
میتوانیم بگوییم: همنهشتی، حالت خاص و بسیار ویژهای از تشابه است که در آن نسبت تشابه دقیقاً برابر $1$ است. درست مثل اینکه بگوییم "هر مربع، یک مستطیل است" (مستطیلی که همه ضلعهایش برابرند). پس هر شکل همنهشت، قطعاً در تعریف گستردهتر، متشابه نیز هست.
تشخیص در عمل: از کلاس درس تا زندگی روزمره
بیایید این مفهوم را با چند سناریوی عملی بررسی کنیم:
مثال ۱: کاشیکاری حمام. فرض کنید میخواهید دیوار حمام را با کاشیهای مربعی شکل بپوشانید. شما یک بسته کاشی دارید که همه کاشیها اندازه یکسان هستند. اگر دو کاشی را بردارید، آنها همنهشت هستند (برابر و قابل انطباق). آیا متشابه هم هستند؟ بله، زیرا زوایای $90$ درجه دارند و نسبت ضلعهای نظیرشان $1$ است.
مثال ۲: عکس و اندازههای مختلف. شما یک عکس 4×6 اینچ دارید. اگر از آن یک کپی همان اندازه (4×6) بگیرید، دو عکس همنهشت و متشابه هستند. اگر از همان عکس یک نسخه پوستر بزرگ 20×30 اینچی چاپ کنید، این دو فقط متشابه هستند (نسبت ضلعها $5$ است) ولی همنهشت نیستند.
این جدول به جمعبندی مثالها کمک میکند:
| جفت شکل | همنهشت؟ | متشابه؟ | دلیل |
|---|---|---|---|
| دو برگه A4 از یک بسته | بله | بله | همه ابعاد و زوایا یکسان است (نسبت= 1). |
| یک تمبر پستی و تصویر بزرگ شده آن روی پرده | خیر | بله | زوایا یکسان، ولی اندازه ضلعها متفاوت و متناسب است. |
| یک درب مستطیل شکل و یک پنجره مربع شکل | خیر | خیر | حتی زوایا نیز ممکن است یکسان نباشند (مربع در مقابل مستطیل). |
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ:خیر، این اشتباه رایج است! تشابه شرط ضعیفتر و عامتری است. دو شکل میتوانند متشابه باشند (همان شکل ولی در اندازههای مختلف) بدون اینکه همنهشت باشند. مانند مثال عکس و پوستر. همنهشتی نیازمند برابری همه ابعاد است.
پاسخ: بله. از آنجایی که همنهشتی حالت خاصی از تشابه با نسبت $k=1$ است، پس نسبت مساحت آنها $k^2 = 1^2 = 1$ خواهد بود. این یعنی مساحت دو شکل همنهشت نیز کاملاً برابر است که با تعریف همنهشتی همخوانی دارد.
پاسخ: با یک مدل ساده: تشابه مانند یک اسکناس است. هر اسکناس همنهشت با خودش است (شماره سریال متفاوت است ولی شکل و اندازه یکی است). حالا اگر از آن اسکناس یک فتوکپی هم اندازه بگیرید، کپی و اصل همنهشت و متشابه هستند. اگر از آن اسکناس یک تصویر بزرگشده روی ویدیوپرژکتور نشان دهید، آن تصویر فقط متشابه با اسکناس است (همه نسبتها حفظ شده) ولی همنهشت نیست چون اندازه واقعی آن یک تکه کاغذ کوچک است!
- همنهشتی یعنی برابری کامل در اندازهها و شکل. تشابه یعنی یکسانی شکل با امکان تفاوت در اندازه.
- هر شکل همنهشت، به طور خودکار در تعریف تشابه نیز میگنجد، زیرا شرط زوایای برابر و شرط تناسب ضلعها (با نسبت $1$) را دارد.
- بنابراین، «هر دو شکل همنهشت، همیشه متشابه هستند» یک گزاره درست و قطعی در هندسه است.
- اما عکس آن درست نیست: هر دو شکل متشابه، لزوماً همنهشت نیستند.
- درک این رابطه مانند درک این است که هر عدد طبیعی، یک عدد صحیح است، اما هر عدد صحیح لزوماً طبیعی نیست.
پاورقی
۱همنهشتی (Congruence): در هندسه، به رابطه بین دو شکل که از نظر اندازه و شکل کاملاً یکسان هستند گفته میشود. به طوری که با حرکت صلب (جابجایی، چرخش، بازتاب) میتوان آنها را بر هم منطبق کرد.
۲تشابه (Similarity): به رابطه بین دو شکل که دارای زوایای نظیر برابر و اضلاع نظیر متناسب هستند، گفته میشود. شکلها میتوانند اندازههای متفاوتی داشته باشند.
۳نسبت تشابه (Scale Factor): عدد ثابتی که از تقسیم طول هر ضلع در یک شکل متشابه بر طول ضلع نظیر در شکل دیگر به دست میآید و با $k$ نشان داده میشود.
