قضیهٔ کمان و وتر: اگر دو وتر برابر باشند، کمان‌هایشان برابرند و برعکس

قضیهٔ کمان و وتر: از تساوی تا هم‌نهشتی

تعاریف پایه: وتر و کمان چیست؟

قبل از پرداختن به قضیه، باید با بازیگران اصلی داستان آشنا شویم: وتر و کمان.

هر وتر دو کمان را روی دایره مشخص می‌کند: یک کمان کوچک (کوچکتر از نیم‌دایره) و یک کمان بزرگ (بزرگتر از نیم‌دایره). معمولاً وقتی می‌گوییم «کمان روبروی وتر»، منظورمان کمان کوچک است.

بیان دقیق قضیه در دو جهت

حالا نوبت خود قضیه است. این قضیه یک رابطه‌ی دوطرفه ($\leftrightarrow$) را بیان می‌کند.

برای درک بهتر، فرض کنید یک چرخ‌وفلک کامل داریم. اگر دو کابین روی محیط چرخ‌وفلک، دقیقاً به یک فاصله از مرکز آویزان باشند (یعنی وترهای مربوط به نقطه‌ی اتصال آن‌ها به مرکز برابر باشند)، آن‌گاه فاصله‌ی منحنی روی محیط چرخ‌وفلک بین این دو کابین با فاصله‌ی منحنی بین هر دو کابین دیگر که به همین شکل آویزانند، برابر است.

چرا این قضیه درست است؟ (با مثلث‌های هم‌نهشت)

دلیل این قضیه به مفهوم هم‌نهشتی³ مثلث‌ها برمی‌گردد. دایره‌ای با مرکز $O$ را در نظر بگیرید. دو وتر $AB$ و $CD$ داریم که $AB = CD$.

اگر شعاع‌های $OA, OB, OC, OD$ را رسم کنیم، دو مثلث $\triangle OAB$ و $\triangle OCD$ ایجاد می‌شوند.

• در این دو مثلث، $OA = OC$ و $OB = OD$ (هر دو شعاع دایره هستند).
• همچنین $AB = CD$ (فرض قضیه).

پس این دو مثلث بر اساس حالت ضلع-ضلع-ضلع⁴ با هم هم‌نهشت هستند. اگر مثلث‌ها هم‌نهشت باشند، تمام اجزای متناظر آن‌ها، از جمله زاویه‌های رأس مرکزی ($\angle AOB$ و $\angle COD$) با هم برابر می‌شوند. از آنجایی که اندازه‌ی هر کمان کوچک، دقیقاً برابر با اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی روبروی آن است، پس کمان $\overset{\huge\frown}{AB}$ با کمان $\overset{\huge\frown}{CD}$ برابر می‌شود. برهان جهت عکس نیز مشابه است.

کاربرد قضیه در مسائل و زندگی

این قضیه ابزاری قدرتمند برای حل مسائل هندسی و حتی درک برخی پدیده‌های اطراف ماست.

مثال ۱ (هندسی): در دایره‌ای، وتر $AB$ به طول 5 سانتی‌متر داریم. اگر وتر $CD$ نیز دقیقاً 5 سانتی‌متر باشد، چه نتیجه‌ای می‌گیریم؟ طبق قضیه، بدون اندازه‌گیری زاویه می‌دانیم که کمان کوچک $AB$ و کمان کوچک $CD$ هم‌اندازه هستند.

مثال ۲ (طراحی و معماری): در ساخت یک پنجره‌ی گرد بزرگ، اگر بخواهند چند تیر تقویت‌کننده (وتر) با طول یکسان از وسط آن عبور دهند، این تیرها قوس‌های (کمان) یک‌شکل و متقارنی را در بالا و پایین پنجره ایجاد می‌کنند که به زیبایی و استحکام یکنواخت طرح کمک می‌کند.

مثال ۳ (کسب‌وکار): یک شیرینی‌پزی را در نظر بگیرید که کیک‌های گرد را به قطعات مساوی تقسیم می‌کند. اگر همه‌ی برش‌ها از مرکز کیک عبور کنند (شعاع باشند)، مطمئناً قطعات مساوی هستند. اما اگر برش‌ها به صورت وترهایی با فاصله‌ی یکسان از مرکز باشند، طبق این قضیه، لبه‌ی خارجی (کمان) هر قطعه نیز اندازه‌ی یکسانی خواهد داشت و همه‌ی قطعات از نظر اندازه‌ی پوشش خامه‌ای لبه، یکسان به نظر می‌رسند!

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹وتر (Chord): پاره‌خطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل می‌کند.
²کمان (Arc): بخشی از محیط دایره.
³هم‌نهشتی (Congruence): برابر بودن دو شکل هندسی از نظر اندازه و شکل به طوری که بر هم منطبق شوند.
⁴حالت ضلع-ضلع-ضلع (SSS): یکی از حالت‌های هم‌نهشتی مثلث‌ها که اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد، آن دو مثلث هم‌نهشت هستند.