واقعیتهای ثابت شده: قواعد ریاضی در زندگی روزمره
ویژگیهای تغییرناپذیر چهار عمل اصلی
چهار عمل اصلی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم، قوانینی بسیار محکم دارند که تحت هر شرایطی درست هستند. این قوانین آنقدر بدیهی و ثابت شدهاند که به آنها «ویژگی» میگوییم. برای مثال، مهم نیست چه چیزی را با چه چیزی جمع میزنید، همیشه جواب یکسان است. این ویژگی را جا به جایی1 مینامند. در خرید از سوپرمارکت: اگر 2 بسته شیر و 1 نان بخرید، یا اول شیر و سپس نان را در سبد بگذارید، یا برعکس، در نهایت همان 3 قلم کالا را پرداخت میکنید. به زبان ریاضی:
$ a + b = b + a $
جدول زیر مهمترین این ویژگیهای ثابت شده را نشان میدهد:
| نام ویژگی | شرح به زبان ساده | مثال عددی |
|---|---|---|
| جابهجایی جمع | ترتیب اعداد در جمع مهم نیست. | 5 + 3 = 3 + 5 = 8 |
| شرکتپذیری ضرب | در ضرب چند عدد، نحوه گروهبندی مهم نیست. | (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24 |
| توزیعپذیری | ضرب روی جمع پخش میشود. | 4 × (5 + 2) = (4×5) + (4×2) = 28 |
| عنصر خنثی | جمع با صفر، یا ضرب در یک، عدد را تغییر نمیدهد. | 7 + 0 = 7 , 9 × 1 = 9 |
دنیای جذاب و منظم اعداد اول و مرکب
اعداد طبیعی (مانند 1, 2, 3, ...) به دو دسته مهم تقسیم میشوند: اعداد اول2 و اعداد مرکب3. این یک تقسیمبندی ثابت و تغییرناپذیر است. یک عدد اول، عددی طبیعی بزرگتر از یک است که جز بر خودش و یک، بر عدد دیگری بخشپذیر نباشد. این یک واقعیت ذاتی درباره آن عدد است. مثلاً عدد 13 فقط بر 1 و 13 بخشپذیر است، پس اول است. اما عدد 15 بر 3 و 5 هم بخشپذیر است، پس مرکب است. از این اصول برای ساده کردن کسرها یا پیدا کردن الگوها استفاده میشود. در بازی «خرد کردن عدد» شما دائماً یک عدد مرکب را به عوامل اول آن تجزیه میکنید، مثلاً: $ 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 $. جالب اینجاست که این تجزیه، فقط به یک شکل ممکن است (اگر ترتیب نوشتن عوامل را در نظر نگیریم). این یک قضیه اساسی حساب4 است که ثابت شده است.
پیشبینی دنیا با قضایای هندسی
هندسه پر از قضایای اثباتشدهای است که به ما اجازه میدهند شکلها و فاصلهها را دقیقاً محاسبه کنیم. یکی از معروفترین و کاربردیترین این قضایا، قضیه فیثاغورث5 است. این قضیه فقط برای مثلث قائمالزاویه صادق است و میگوید: «مجموع مربعات دو ضلع کوچکتر (ضلعهای مجاور به زاویه قائمه) برابر است با مربع وتر (ضلع روبهروی زاویه قائمه)».
$ a^2 + b^2 = c^2 $
که در آن $a$ و $b$ طول ضلعهای قائمه و $c$ طول وتر است.
یک مثال عملی: فرض کنید میخواهید یک قفسه کتاب به طول 80 سانتیمتر و ارتفاع 60 سانتیمتر روی دیوار نصب کنید. برای این که بدانید تکیهگاه مورب (پشتبند) قفسه باید حداقل چند سانتیمتر باشد، از قضیه فیثاغورث استفاده میکنیم: $ c^2 = 80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000 $. پس $ c = \sqrt{10000} = 100 $ سانتیمتر. بنابراین طول پشتبند باید حداقل 100 سانتیمتر باشد. این محاسبه بر اساس یک قاعده ثابت شده است و اگر درست انجام شود، همیشه جواب درست را میدهد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. طبق تعریف پذیرفته شده و ثابت شده، اعداد اول باید بزرگتر از یک باشند و دقیقاً دو مقسومعلیه (خود عدد و یک) داشته باشند. عدد یک فقط یک مقسومعلیه (خودش) دارد، بنابراین در دسته خاص خود قرار میگیرد و نه اول است و نه مرکب. این یک قاعده قراردادی نیست، بلکه برای حفظ انسجام و یکدستی در قضایای بعدی ریاضی (مثل قضیه اساسی حساب) ضروری است.
پاسخ: خیر. این قضیه یک واقعیت ثابت شده است که فقط و فقط برای مثلثهای قائمالزاویه برقرار است. اگر مثلث شما زاویه قائمه نداشته باشد، رابطه $ a^2 + b^2 = c^2 $ برای آن برقرار نیست. این یک محدودیت مهم است که باید به خاطر سپرد.
پاسخ: اثبات، زنجیرهای منطقی و قدمبهقدم از استدلالهاست که با استفاده از تعاریف دقیق و قواعد پذیرفتهشده قبلی، نشان میدهد یک گزاره (مثل یک قضیه یا ویژگی) حتماً درست است. برخلاف علوم تجربی که بر پایه آزمایش و مشاهده تکرارشونده هستند، یک گزاره ریاضی پس از اثبات درست، برای همیشه و در همه شرایط درست باقی میماند و تبدیل به یک «واقعیت ثابتشده» میشود.
پاورقی
1جا به جایی (Commutative Property): ویژگی عملیاتی که در آن تغییر ترتیب عملوندها، نتیجه را تغییر نمیدهد.
2عدد اول (Prime Number): عدد طبیعی بزرگتر از ۱ که تنها بر ۱ و خودش بخشپذیر باشد.
3عدد مرکب (Composite Number): عدد طبیعی بزرگتر از ۱ که به جز ۱ و خودش، مقسومعلیههای دیگری هم داشته باشد.
4قضیه اساسی حساب (Fundamental Theorem of Arithmetic): هر عدد طبیعی بزرگتر از ۱ را میتوان به صورت حاصلضربی از اعداد اول نوشت و این تجزیه، جز در ترتیب عوامل، یکتاست.
5قضیه فیثاغورث (Pythagorean Theorem): در یک مثلث قائمالزاویه، مجذور طول وتر برابر است با مجموع مجذورهای طول دو ضلع دیگر.
