رسم خط مماس بر دایره: هنر لمس کردن یک منحنی
خط مماس چیست و چه ویژگی‌هایی دارد؟
فرض کنید یک توپ را روی زمین غلت می‌دهید. مسیری که توپ در اولین لحظه‌ی تماس با زمین طی می‌کند، شبیه به یک خط مماس است! در هندسه، یک خط مماس، خطی است که یک دایره را فقط در یک نقطه لمس می‌کند. به این نقطه، نقطهٔ تماس۲ می‌گویند. مهم‌ترین ویژگی خط مماس این است که در نقطهٔ تماس، کاملاً بر شعاع دایره عمود است.
| عنوان ویژگی | توضیح | مثال عینی |
|---|---|---|
| تعداد نقاط تماس | فقط و فقط یک نقطه | چرخ دوچرخه در یک لحظه فقط در یک نقطه با زمین تماس دارد. |
| زاویه با شعاع | عمود بر شعاع در نقطه تماس (زاویه 90 درجه) | میله‌ی پرچم که عمود بر سطح زمین است، شبیه به این رابطه است. |
| فاصله از مرکز | کوتاه‌ترین فاصله‌ی خط از مرکز دایره، برابر با شعاع است. | نزدیک‌ترین فاصله‌ی شما تا دیوار یک استخر دایره‌ای، شعاع آن است. |
چگونه یک خط مماس بر دایره رسم کنیم؟
برای رسم خط مماس، به یک دایره و یک نقطه در بیرون از آن نیاز داریم. در اینجا روشی گام‌به‌گام و ساده را با هم مرور می‌کنیم:
گام اول: یک دایره با مرکز $ O $ و یک نقطه $ P $ در خارج از دایره در نظر بگیرید.
گام دوم: پاره‌خط $ OP $ را رسم کنید.
گام سوم: نیم‌ساز پاره‌خط $ OP $ را پیدا کنید. (یعنی نقطه‌ی میانی آن را مشخص کرده و با گونیا خطی عمود بر آن رسم کنید).
گام چهارم: به مرکز نقطه‌ی میانی $ OP $ و به شعاع نصف فاصله‌ی $ OP $، یک دایره رسم کنید. این دایره جدید، دایره‌ی اصلی را در دو نقطه قطع می‌کند.
گام پنجم: این دو نقطه‌ی تقاطع، دقیقاً نقاط تماس خطوط مماس از نقطه $ P $ بر دایره هستند. حالا کافی است این نقاط را به $ P $ وصل کنید. به این ترتیب دو خط مماس رسم شده‌است!
خط مماس در زندگی روزمره ما کجاست؟
شاید فکر کنید خط مماس یک مفهوم کاملاً تئوری است، اما مثال‌های زیادی از آن در اطراف ما وجود دارد:
• چرخش خودرو در پیچ جاده: وقتی ماشین در حال پیچیدن است، جهت چرخ‌های آن در هر لحظه بر مسیر دایره‌وار پیچ، مماس است. این باعث می‌شود خودرو به نرمی و بدون لغزش بچرخد.
• حرکت سیارات: اگر مسیر حرکت یک سیاره به دور خورشید را در یک لحظه‌ی بسیار کوتاه در نظر بگیریم، جهت حرکت آن به صورت یک خط راست و مماس بر مدار بیضی‌شکل آن است.
• ساخت سوله‌های نیمدایره: برای محاسبه‌ی زاویه‌ی قرارگیری تیرهای سقف نسبت به دیواره‌ها، از مفهوم مماس استفاده می‌شود تا استحکام لازم ایجاد شود.
• بازی بیلیارد: وقتی توپ بیلیارد به توپ دیگری برخورد می‌کند، جهت حرکت توپ دوم تقریباً بر دایره‌ی فرضی مرکز توپ اول، مماس خواهد بود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. اگر خطی دایره را در دو نقطه قطع کند، دیگر به آن قاطع می‌گویند، نه مماس. خط مماس فقط و فقط در یک نقطه دایره را لمس می‌کند.
پاسخ: خیر. اگر خطی از مرکز دایره بگذرد، آن را قطع می‌کند و در دو نقطه با دایره برخورد خواهد داشت (به آن قطر می‌گویند). خط مماس از مرکز دایره نمی‌گذرد.
پاسخ: بهترین راه استفاده از گونیای 90 درجه است. وقتی خط و شعاع را رسم کردید، گونیا را روی نقطه تماس قرار دهید. اگر ضلع گونیا دقیقاً بر روی هر دو خط منطبق شد، یعنی بر هم عمود هستند.
پاورقی
۱خط مماس (Tangent Line): خطی که یک منحنی (مانند دایره) را در یک نقطه لمس کند بدون آنکه از آن عبور کند.
۲نقطهٔ تماس (Point of Tangency): نقطه‌ای که در آن خط مماس، دایره را لمس می‌کند.
۳شعاع (Radius): پاره‌خطی که مرکز دایره را به یک نقطه روی محیط دایره وصل می‌کند.
