یافتن همه حالت‌های ممکن به کمک جدول
جدول حالت‌ها چیست و چرا مفید است؟
فرض کنید برای ناهار می‌توانید بین 2 نوع غذای اصلی (مثلاً پیتزا و پاستا) و 3 نوع نوشیدنی (آب، نوشابه، آب‌میوه) یکی را انتخاب کنید. در این حالت، چند ترکیب مختلف برای ناهار دارید؟ اگر بخواهید همه‌ی این ترکیب‌ها را در ذهن خود مرور کنید، ممکن است یکی دو تا را فراموش کنید. اما اگر از یک جدول حالت‌های ممکن۱ استفاده کنید، مطمئن خواهید بود که هیچ حالتی از قلم نیفتاده است.
یک جدول حالت‌ها، تمام گزینه‌های یک بخش را در ردیف‌ها و گزینه‌های بخش دیگر را در ستون‌ها قرار می‌دهد. سپس هر خانه از جدول، نشان‌دهنده‌ی یک ترکیب منحصربه‌فرد از آن دو گزینه است. این روش، یک ابزار تصویری و سازمان‌یافته است که درک و شمردن نتایج را بسیار آسان می‌کند.
چگونه یک جدول حالت‌های ممکن رسم کنیم؟
برای رسم این جدول، فقط به یک قلم و کاغذ نیاز دارید. مراحل زیر را دنبال کنید:
گام اول: شناسایی دو رویداد
دو چیزی که می‌خواهید حالت‌های ترکیب آن‌ها را پیدا کنید، مشخص کنید. مثلاً "غذای اصلی" و "نوشیدنی".
گام دوم: فهرست کردن گزینه‌ها
تمام گزینه‌های ممکن برای هر رویداد را بنویسید. برای غذای اصلی: پیتزا، پاستا. برای نوشیدنی: آب، نوشابه، آب‌میوه.
گام سوم: ترسیم جدول
گزینه‌های رویداد اول (مثلاً غذا) را در اولین ستون سمت راست جدول بنویسید. گزینه‌های رویداد دوم (مثلاً نوشیدنی) را در اولین ردیف بالای جدول قرار دهید.
گام چهارم: پر کردن خانه‌ها
هر خانه از جدول، ترکیب غذای آن ردیف و نوشیدنی آن ستون است. همه‌ی خانه‌ها را پر کنید.
| ترکیب ناهار | آب | نوشابه | آب‌میوه |
|---|---|---|---|
| پیتزا | پیتزا + آب | پیتزا + نوشابه | پیتزا + آب‌میوه |
| پاستا | پاستا + آب | پاستا + نوشابه | پاستا + آب‌میوه |
همان‌طور که در جدول بالا می‌بینید، ما در مجموع 6 ترکیب مختلف برای ناهار داریم. این عدد از ضرب تعداد غذاها (2) در تعداد نوشیدنی‌ها (3) به‌دست آمده است: $2 \times 3 = 6$.
کاربرد جدول حالت‌ها در بازی و احتمال
از این جدول‌ها می‌توان برای تحلیل ساده‌ی بازی‌ها و محاسبه‌ی شانس رخ دادن یک رویداد خاص استفاده کرد. فرض کنید دو سکه‌ی یکسان دارید و می‌خواهید آن‌ها را همزمان پرتاب کنید. هر سکه دو حالت دارد: رو (R) یا پشت (P).
| نتیجه پرتاب | سکه دوم: رو (R) | سکه دوم: پشت (P) |
|---|---|---|
| سکه اول: رو (R) | R , R | R , P |
| سکه اول: پشت (P) | P , R | P , P |
جدول بالا نشان می‌دهد 4 حالت ممکن برای پرتاب دو سکه وجود دارد. حالا اگر بخواهیم احتمال آمدن حداقل یک رو را حساب کنیم، کافی است حالت‌های مربوطه را در جدول بشماریم. حالت‌های (R,R)، (R,P) و (P,R) این شرط را دارند. یعنی 3 حالت از 4 حالت ممکن. پس احتمال آن می‌شود: $\frac{3}{4}$.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر، مهم نیست. شما می‌توانید گزینه‌های غذا را در ستون و نوشیدنی را در ردیف بنویسید. در نهایت همان 6 ترکیب به‌دست می‌آید، فقط شکل جدول فرق می‌کند. مهم این است که همه‌ی خانه‌های جدول را پر کنید.
پاسخ: در این حالت، شما آن خانه از جدول را خالی می‌گذارید یا روی آن خط می‌کشید. هنگام شمردن کل حالت‌های ممکن، آن خانه را حساب نمی‌کنید. مثلاً اگر پیتزا با آب‌میوه سرو نشود، از 6 حالت، فقط 5 حالت معتبر باقی می‌ماند.
پاسخ: بله، اما کشیدن جدول برای سه رویداد یا بیشتر، سه‌بعدی یا بسیار بزرگ می‌شود و پیچیده است. برای دو رویداد، جدول دوبعدی بهترین گزینه است. برای رویدادهای بیشتر معمولاً از روش‌های دیگر مانند دیاگرام درختی استفاده می‌شود.
پاورقی
۱جدول حالت‌های ممکن (Sample Space Table): جدولی که تمام نتایج ممکن یک آزمایش یا رویداد را به‌طور سیستماتیک فهرست می‌کند.
۲احتمال (Probability): شانس رخ دادن یک رویداد خاص که از تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌های ممکن به‌دست می‌آید.
۳دیاگرام درختی (Tree Diagram): روشی گرافیکی دیگر برای نمایش تمام حالت‌های ممکن یک سری رویدادهای پشت‌سرهم که شاخه‌های آن هر مسیر ممکن را نشان می‌دهد.
