محاسبه عبارت های توان دار: از اعداد کوچک تا دنیای بزرگ
توان چیست و اجزای آن کدامند؟
فرض کنید می‌خواهیم عدد 5 را سه بار در خودش ضرب کنیم. به جای نوشتن 5 × 5 × 5، می‌توانیم به طور خلاصه بنویسیم: $ 5^3 $. به این شکل از نمایش، یک عبارت توان‌دار می‌گوییم.
| نام جزء | توضیح | مثال |
|---|---|---|
| پایه۲ | عددی است که قرار است چندبار در خودش ضرب شود. | در $ 5^3 $، پایه عدد 5 است. |
| توان۳ یا نما | عدد کوچکی که در بالا و سمت راست پایه نوشته می‌شود و نشان می‌دهد پایه چند بار در خودش ضرب می‌شود. | در $ 5^3 $، توان عدد 3 است. |
| خواندن عبارت | - | $ 5^3 $ را «پنج به توان سه» یا «پنج به توان سه» می‌خوانیم. |
محاسبه گام به گام عبارات توان دار
برای محاسبه مقدار یک عبارت توان‌دار، کافی است طبق تعریف، پایه را به تعداد مشخص‌شده توسط توان، در خودش ضرب کنیم.
مثال ۱: محاسبه $ 2^4 $
در این عبارت، پایه 2 و توان 4 است. یعنی باید عدد 2 را چهار بار در خودش ضرب کنیم:
$ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 $
پس حاصل $ 2^4 $ برابر است با 16.
مثال ۲: محاسبه $ 3^3 $
پایه 3 و توان 3 است. یعنی:
$ 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 $
پس حاصل $ 3^3 $ برابر است با 27.
نکته ویژه: به توان 2، مربع یک عدد نیز می‌گویند. برای مثال، $ 5^2 $ را «پنج به توان دو» یا «مربع پنج» می‌خوانیم که حاصل آن 25 است. به توان 3 نیز مکعب می‌گویند. مثلاً $ 4^3 $ یعنی «مکعب چهار».
کاربرد توان در زندگی و دنیای اطراف ما
شاید فکر کنید توان فقط یک مفهوم ریاضی است، اما مثال‌های زیادی از آن در زندگی روزمره وجود دارد:
۱. محاسبه مساحت: مساحت یک مربع از ضلع آن در خودش (یعنی به توان 2) به دست می‌آید. اگر یک زمین مربع شکل، ضلعی به طول 10 متر داشته باشد، مساحت آن $ 10^2 = 100 $ متر مربع است. مثال عینی
۲. رشد باکتری‌ها: فرض کنید یک باکتری هر یک ساعت به دو باکتری تقسیم شود (یعنی تعدادش دو برابر شود). اگر با یک باکتری شروع کنیم، بعد از 5 ساعت، تعداد باکتری‌ها برابر است با $ 2^5 = 32 $ باکتری. می‌بینید که چگونه توان نشان‌دهنده رشد سریع است!
۳. محاسبه حجم: حجم یک مکعب از ضلع آن به توان 3 به دست می‌آید. اگر یک جعبه مکعبی، ضلعی به طول 2 متر داشته باشد، حجم آن $ 2^3 = 8 $ متر مکعب است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. این یک اشتباه رایج است. باید هر کدام را جداگانه محاسبه کنیم:
$ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $
$ 3^2 = 3 \times 3 = 9 $
همان‌طور که می‌بینید، نتایج متفاوت هستند.
این یک حالت خاص و بسیار مهم است. طبق تعریف، هر عدد (غیر از صفر) به توان صفر، برابر است با یک.
$ a^0 = 1 $ (به شرطی که $ a \neq 0 $)
برای مثال: $ 5^0 = 1 $، $ 100^0 = 1 $، $ (-3)^0 = 1 $
در این موارد باید به «ترتیب عملیات» توجه کنیم. یک قاعده کلی به نام «پرانتز - توان - ضرب و تقسیم - جمع و تفریق» وجود دارد. یعنی ابتدا محاسبات داخل پرانتز، سپس توان، بعد از آن ضرب و تقسیم (از چپ به راست) و در نهایت جمع و تفریق (از چپ به راست) انجام می‌شود.
مثال: برای محاسبه $ 2 + 3^2 \times 2 $، ابتدا توان را حساب می‌کنیم: $ 3^2 = 9 $. سپس ضرب: 9 × 2 = 18. در پایان جمع: 2 + 18 = 20.
پاورقی
۱توان (Exponent/ Power): در ریاضیات، به عملوندی گفته می‌شود که نشان می‌دهد یک عدد (پایه) چند بار در خودش ضرب شده است.
۲پایه (Base): عددی که در یک عبارت توان‌دار، به تعداد دفعات مشخصی در خودش ضرب می‌شود.
۳توان (Exponent): عددی که در یک عبارت توان‌دار، در بالا و سمت راست پایه نوشته می‌شود و تعداد دفعات ضرب پایه در خودش را نشان می‌دهد.
