توانِ توان: یک قانون ساده و کاربردی
توان چیست و چگونه کار می‌کند؟
در ریاضیات، توان1 یک روش کوتاه‌نویسی برای نشان دادن ضرب چندباره یک عدد در خودش است. برای مثال، به جای نوشتن $ 5 \times 5 \times 5 $ می‌نویسیم $ 5^3 $. در اینجا، عدد 5پایه2 و عدد 3توان1 نامیده می‌شود.
مثال از زندگی: فرض کنید یک باکس مکعبی شکل دارید که هر ضلع آن 2 سانتی‌متر است. حجم این مکعب چگونه محاسبه می‌شود؟ حجم = طول × عرض × ارتفاع = $ 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8 $ سانتی‌متر مکعب.
قانون توانِ توان: وقتی توان، خودش توان‌دار می‌شود
حالا به مسئله اصلی می‌رسیم. اگر یک عدد توان‌دار مانند $ (2^3)^2 $ داشته باشیم، چگونه آن را محاسبه کنیم؟ این یعنی $ 2^3 $ را به توان 2 برسانیم.
بیایید با مثال $ (2^3)^2 $ این قانون را بررسی کنیم:
- روش اول (حل گام به گام): ابتدا $ 2^3 = 8 $ را محاسبه می‌کنیم. سپس حاصل را به توان 2 می‌رسانیم: $ 8^2 = 64 $.
- روش دوم (استفاده از قانون): توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $ 3 \times 2 = 6 $. پس $ (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 $.
همانطور که می‌بینید، هر دو روش یک جواب می‌دهند، اما روش دوم بسیار سریع‌تر و ساده‌تر است.
| مثال | روش طولانی | استفاده از قانون توانِ توان | حاصل |
|---|---|---|---|
| $ (5^2)^3 $ | $ 5^2 = 25 $ سپس $ 25^3 = 15625 $ | $ 5^{2 \times 3} = 5^6 $ | 15625 |
| $ (10^1)^4 $ | $ 10^1 = 10 $ سپس $ 10^4 = 10000 $ | $ 10^{1 \times 4} = 10^4 $ | 10000 |
| $ (3^3)^2 $ | $ 3^3 = 27 $ سپس $ 27^2 = 729 $ | $ 3^{3 \times 2} = 3^6 $ | 729 |
کاربرد قانون توانِ توان در دنیای اطراف ما
شاید فکر کنید این یک مفهوم کاملاً تئوری است، اما مثال‌های ساده‌ای از زندگی وجود دارد که این قانون را نشان می‌دهد.
مثال ۱: رشد باکتری‌ها
فرض کنید یک نوع باکتری هر ساعت تعداد خود را دو برابر می‌کند (یعنی در هر ساعت به توان 2 میرسد). اگر باکتری‌ها را به مدت 3 ساعت در یک محیط بگذاریم، رشد آن‌ها چگونه است؟
- رشد در هر ساعت: $ 2^1 $
- رشد در 3 ساعت: $ (2^1)^3 $
- با استفاده از قانون: $ (2^1)^3 = 2^{1 \times 3} = 2^3 = 8 $. یعنی جمعیت باکتری پس از 3 ساعت، 8 برابر می‌شود.
مثال ۲: محاسبه حجم یک مکعب بزرگ
فرض کنید یک مکعب کوچک داریم که حجم آن $ a^3 $ است. حال اگر این مکعب کوچک را در یک مکعب بزرگ‌تر قرار دهیم که هر ضلع آن از 4 ردیف از این مکعب‌های کوچک تشکیل شده باشد، حجم کل چگونه محاسبه می‌شود؟
- تعداد مکعب‌های کوچک در یک ضلع: 4 = $ 2^2 $ (اگر مکعب‌ها را دوتایی در کنار هم بچینیم).
- حجم هر مکعب کوچک: $ a^3 $
- حجم کل مکعب بزرگ: $ ( (2^2)^3 \times a^3 ) $ که با قانون توانِ توان می‌شود: $ 2^{2 \times 3} \times a^3 = 2^6 \times a^3 $.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر! این یک اشتباه رایج است. $ (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 $ اما $ 2^{3^2} = 2^9 = 512 $. پرانتزها بسیار مهم هستند.
پاسخ: خیر، قانون یکسان است. ابتدا داخل پرانتز را محاسبه می‌کنیم: $ (-2)^3 = -8 $. سپس $ (-8)^2 = 64 $. با قانون: $ (-2)^{3 \times 2} = (-2)^6 = 64 $. وقتی توان بیرونی زوج است، حاصل همیشه مثبت می‌شود.
پاسخ: قانون توانِ توان برای همه اعداد، اعم از صحیح، کسری و اعشاری صدق می‌کند. برای مثال: $ (4^{0.5})^2 = 4^{0.5 \times 2} = 4^1 = 4 $. اما محاسبات با توان‌های غیرصحیح معمولاً در پایه‌های بالاتر آموزش داده می‌شود.
پاورقی
1توان (Exponent): عددی که نشان می‌دهد پایه چند بار در خودش ضرب شده است.
2پایه (Base): عددی که قرار است چند بار در خودش ضرب شود.
