هم‌نهشتی دو مثلث قائم‌الزاویه در حالت وتر و یک زاویه

هم‌نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه: کشف راز وتر و یک زاویه

هم‌نهشتی مثلث‌ها به زبان ساده

فرض کنید دو برچسب مثلثی شکل دارید که می‌خواهید بدانید آیا دقیقاً هم اندازه و هم شکل هستند یا نه. اگر بتوانید یکی را بردارید و کاملاً روی دیگری قرار دهید، به طوری که همه‌ی قسمت‌ها دقیقاً بر هم منطبق شوند، این دو مثلث هم‌نهشت هستند. در هندسه، چندین حالت برای اثبات هم‌نهشتی دو مثلث وجود دارد. برای مثلث‌های قائم‌الزاویه، یکی از این حالت‌ها، حالت ویژه و بسیار کاربردی وتر و زاویه‌ی حاده است.

اجزای کلیدی یک مثلث قائم‌الزاویه

قبل از پرداختن به قاعده، باید با اجزای اصلی یک مثلث قائم‌الزاویه آشنا شویم.

چرا قاعده‌ی HL کار می‌کند؟ یک استدلال گام به گام

بیایید فرض کنیم دو مثلث قائم‌الزاویه داریم: مثلث $ABC$ و مثلث $DEF$ که در آن $\angle C$ و $\angle F$ هر دو زاویه‌ی قائمه هستند.

آنچه می‌دانیم (فرض):

1. وتر مثلث $ABC$ (یعنی $AB$) با وتر مثلث $DEF$ (یعنی $DE$) برابر است: $AB = DE$
2. یک زاویه‌ی حاده در مثلث $ABC$ (مثلاً $\angle A$) با یک زاویه‌ی حاده در مثلث $DEF$ (مثلاً $\angle D$) برابر است: $\angle A = \angle D$

آنچه ثابت می‌کنیم (نتیجه): این دو مثلث با هم هم‌نهشت هستند ($\triangle ABC \cong \triangle DEF$).

گام‌های استدلال:

1. می‌دانیم که مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث 180 درجه است.
2. در مثلث $ABC$، $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. از آنجایی که $\angle C = 90^\circ$، پس $\angle A + \angle B = 90^\circ$.
3. به همین ترتیب، در مثلث $DEF$، $\angle D + \angle E = 90^\circ$.
4. از فرض می‌دانیم $\angle A = \angle D$. بنابراین، اگر از هر دو طرف معادله‌ی بالا آن را کم کنیم، به این نتیجه می‌رسیم که $\angle B = \angle E$.
5. پس حالا می‌دانیم: وترها مساوی هستند ($AB = DE$) و دو زاویه‌ی حاده نیز مساوی هستند ($\angle A = \angle D$ و $\angle B = \angle E$).
6. این دقیقاً مطابق با حالت هم‌نهشتی زاویه-ضلع-زاویه (ASA)^۶ است. (یک ضلع و دو زاویه‌ی مجاور به آن ضلع). در اینجا، ضلع مورد نظر وتر است و دو زاویه‌ی مجاور آن، دو زاویه‌ی حاده هستند.

بنابراین، با استفاده از حالت ASA، ثابت می‌شود که دو مثلث کاملاً هم‌نهشت هستند.

کاربرد قاعده‌ی HL در دنیای واقعی

این قاعده فقط در کتاب‌های درسی نیست! یک نجار را در نظر بگیرید که می‌خواهد یک تکیه‌گاه مثلثی برای یک قفسه‌ی کتاب بسازد. او دو تکیه‌گاه یکسان نیاز دارد. او می‌تواند فقط طول وتر (بلندترین ضلع) و اندازه‌ی یکی از زاویه‌های تیز را برای تکیه‌گاه اول اندازه بگیرد و با استفاده از همان اندازه‌ها، تکیه‌گاه دوم را دقیقاً مشابه اولی بسازد. مطمئن خواهد بود که هر دو تکیه‌گاه کاملاً یکسان و قابل تعویض هستند. یا در نقشه‌برداری، اگر بخواهند مساحت یک زمین مثلثی قائم‌الزاویه را محاسبه کنند، اندازه‌گیری وتر و یک زاویه‌ی حاده اغلب ساده‌تر از اندازه‌گیری هر سه ضلع است.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

^۱هم‌نهشتی وتر و زاویه (HL Congruence): Hypotenuse-Leg Congruence. یک حالت ویژه برای اثبات هم‌نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه.

^۲هم‌نهشتی (Congruence): حالتی که در آن دو شکل هندسی از نظر اندازه و شکل کاملاً یکسان باشند و بتوان بر هم منطبق کرد.

^۳مثلث قائم‌الزاویه (Right Triangle): مثلثی که یک زاویه‌ی آن دقیقاً ۹۰ درجه باشد.

^۴وتر (Hypotenuse): ضلع روبروی زاویه‌ی قائمه در یک مثلث قائم‌الزاویه که طولانی‌ترین ضلع است.

^۵زاویه‌ی حاده (Acute Angle): زاویه‌ای که اندازه‌ی آن از ۹۰ درجه کمتر است.

^۶حالت هم‌نهشتی زاویه-ضلع-زاویه (ASA): Angle-Side-Angle Congruence. اگر یک ضلع و دو زاویه‌ی مجاور آن در یک مثلث، با ضلع و دو زاویه‌ی مجاور آن در مثلث دیگر مساوی باشند، دو مثلث هم‌نهشت هستند.