همنهشتی دو مثلث: حالت دو ضلع و زاویه بین (SAS)
همنهشتی مثلث‌ها به چه معناست؟
وقتی می‌گوییم دو مثلث با هم هم‌نهشت هستند، یعنی همه‌ی اجزای متناظر آنها (سه ضلع و سه زاویه) دقیقاً با هم برابرند. این دو مثلث ممکن است جهت‌گیری متفاوتی داشته باشند یا جابه‌جا شده باشند، اما در اصل، یکی هستند. برای اینکه مجبور نباشیم هر شش جزء را چک کنیم، ریاضی‌دانان چند حالت اصلی را کشف کرده‌اند که با بررسی فقط سه جزء خاص، می‌توان مطمئن شد که دو مثلث هم‌نهشت هستند. حالت $ SAS $ یکی از این حالت‌های مهم است.
شرایط حالت دو ضلع و زاویه بین (SAS)
در این حالت، برای اثبات همنهشتی دو مثلث، باید سه شرط زیر را داشته باشیم:
شرط دوم: زاویه‌ی بین این دو ضلع در مثلث اول با زاویه‌ی بین دو ضلع متناظر در مثلث دوم برابر باشد.
نتیجه: اگر این دو شرط برقرار باشند، دو مثلث حتماً با هم هم‌نهشت هستند.
فرض کنید دو مثلث داریم: مثلث $ \triangle ABC $ و مثلث $ \triangle DEF $. اگر بدانیم: $ AB = DE $ و $ AC = DF $ و همچنین زاویه‌ی $ \angle A = \angle D $، آنگاه می‌توانیم نتیجه بگیریم که این دو مثلث با هم هم‌نهشت هستند. این حالت را با نماد $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $ نشان می‌دهیم.
| مؤلفه | شرط در مثلث اول | شرط در مثلث دوم | نماد ریاضی |
|---|---|---|---|
| ضلع اول | $ AB $ | $ DE $ | $ AB = DE $ |
| ضلع دوم | $ AC $ | $ DF $ | $ AC = DF $ |
| زاویه بین | $ \angle A $ | $ \angle D $ | $ \angle A = \angle D $ |
چگونه حالت SAS را در مسئله تشخیص دهیم؟
برای تشخیص این حالت در یک مسئله، باید به دنبال اطلاعاتی درباره‌ی دو ضلع و زاویه‌ی بین آنها در هر دو مثلث بگردید. این اطلاعات ممکن است به صورت عدد، حرف یا علامت به شما داده شود. گاهی اوقات خود شکل به شما کمک می‌کند. به مثال زیر توجه کنید:
مثال: در شکل زیر، دو مثلث $ \triangle ABC $ و $ \triangle DEF $ را ببینید. اگر بدانیم که $ AB = 5 \, cm $ و $ DE = 5 \, cm $، همچنین $ AC = 7 \, cm $ و $ DF = 7 \, cm $ و زاویه‌ی $ \angle A = 60^\circ $ و $ \angle D = 60^\circ $، آیا این دو مثلث هم‌نهشت هستند؟
کاربرد حالت SAS در زندگی روزمره
شاید فکر کنید این قواعد هندسی فقط در کتاب‌های درسی کاربرد دارند، اما اینطور نیست! یک نجار را در نظر بگیرید که می‌خواهد یک قفسه‌ی مثلثی برای کتاب‌هایش بسازد. او دو تکه چوب به طول‌های مشخص دارد و می‌داند که باید با زاویه‌ی خاصی به هم وصل شوند. اگر بخواهد یک قفسه‌ی دقیقاً مشابه برای دو طرف دیوار بسازد، با استفاده از حالت SAS می‌تواند مطمئن شود که هر دو قفسه یکسان و متقارن خواهند بود. یا در ساخت سقف خانه‌ها، برای اطمینان از یکسان بودن دو طرف سقف، از این قاعده استفاده می‌شود.
تفاوت حالت SAS با حالت SSA
خیلی مهم است که حالت SAS را با حالت SSA اشتباه نگیرید. در حالت SAS، زاویه باید حتماً بین دو ضلع باشد. اما در حالت SSA، زاویه در مقابل یکی از اضلاع قرار دارد. حالت SSA به تنهایی برای اثبات همنهشتی کافی نیست و ممکن است دو مثلث با داشتن این شرایط، با هم برابر نباشند. پس همیشه دقت کنید که زاویه، بین دو ضلع معلوم باشد.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
- ضلع سوم مثلث اول با ضلع سوم مثلث دوم برابر است.
- دو زاویه‌ی دیگر مثلث اول با دو زاویه‌ی متناظر در مثلث دوم برابر هستند.
حالت دو ضلع و زاویه بین (SAS) یک ابزار بسیار قوی و کاربردی برای اثبات همنهشتی دو مثلث است. کافی است دو ضلع و زاویه‌ی بین آنها در دو مثلث، دو به دو با هم برابر باشند تا مطمئن شویم که همه‌ی اجزای این دو مثلث یکسان هستند. این قاعده نه تنها در حل مسائل هندسی، بلکه در درک و ساخت بسیاری از اشیای اطراف ما به کار می‌رود. با تمرین بیشتر، تشخیص و استفاده از این حالت برای شما بسیار آسان خواهد شد.
پاورقی
[1] هم‌نهشت (Congruent): به دو شکلی گفته می‌شود که از نظر اندازه و شکل کاملاً یکسان باشند ولی ممکن است جهت یا موقعیت متفاوتی داشته باشند.
[2] SAS: مخفف Side-Angle-Side به معنای ضلع-زاویه-ضلع است.
