هم‌نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه: وقتی دو مثلث دقیقاً شبیه هم می‌شوند
مثلث قائم‌الزاویه چیست؟
یک مثلث قائم‌الزاویه، مثلثی است که یک زاویه‌ی آن دقیقاً 90 درجه باشد. به ضلعی که روبروی این زاویه قرار دارد، وتر[2] می‌گویند که بلندترین ضلع مثلث است. دو ضلع دیگر که زاویه‌ی قائمه را تشکیل می‌دهند، ساق‌ها[3] نام دارند. رابطه‌ی معروف فیثاغورس بین این ضلع‌ها برقرار است: اگر a و b نشان‌دهنده‌ی طول ساق‌ها و c نشان‌دهنده‌ی طول وتر باشد، داریم: $a^2 + b^2 = c^2$.
مثال از زندگی: وقتی نردبانی به دیوار تکیه می‌دهد، مثلث قائم‌الزاویه‌ای تشکیل می‌شود که نردبان نقش وتر، و دیوار و زمین نقش ساق‌ها را بازی می‌کنند.
هم‌نهشتی یعنی چه؟
دو مثلث را هم‌نهشت می‌نامیم وقتی بتوانیم یکی را دقیقاً روی دیگری قرار دهیم تا کاملاً بر هم منطبق شوند. این یعنی تمام اجزای متناظر آنها، از جمله ضلع‌ها و زاویه‌ها، باهم برابرند. برای تشخیص هم‌نهشتی، نیاز نیست همه‌ی شش جزء (سه ضلع و سه زاویه) را جداگانه چک کنیم؛ بلکه چند شرط اصلی و کافی وجود دارد.
شرایط اصلی برای هم‌نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه
برای مثلث‌های قائم‌الزاویه، به دلیل داشتن یک زاویه‌ی قائمه (که همیشه برابر است)، شرایط ساده‌تری برای هم‌نهشتی وجود دارد. چهار حالت اصلی در جدول زیر آورده شده است:
| نام حالت | شرایط مورد نیاز | مثال کاربردی |
|---|---|---|
| ساق-ساق (LL) | دو ساق یک مثلث، با دو ساق مثلث دیگر برابر باشند. | دو تخته‌ی چوبی با طول‌های 3 و 4 سانتی‌متر که با یک اتصال زاویه قائمه ساخته شده‌اند. |
| وتر-زاویه‌ی تند (HA) | وتر و یک زاویه‌ی تند[4] از یک مثلث، با وتر و یک زاویه‌ی تند مثلث دیگر برابر باشند. | تعیین ارتفاع درخت با اندازه‌گیری فاصله (وتر) و زاویه‌ی دید. |
| ساق-زاویه‌ی تند (LA) | یک ساق و یک زاویه‌ی تند از یک مثلث، با ساق و زاویه‌ی تند متناظر مثلث دیگر برابر باشند. | ساخت یک تکیه‌گاه با زاویه و طول مشخص برای قفسه‌ی کتاب. |
| وتر-ساق (HL) | وتر و یک ساق از یک مثلث، با وتر و ساق متناظر مثلث دیگر برابر باشند. این حالت مخصوص مثلث قائم‌الزاویه است. | چک کردن یکنواختی گوشه‌های فریم پنجره‌های مستطیل شکل. |
چگونه در دنیای واقعی از این شرایط استفاده کنیم؟
فرض کنید می‌خواهید مطمئن شوید دو قطعه مثلثی قائم‌الزاویه که برای ساخت یک قاب عکس بریده‌اید، کاملاً یکسان هستند. اگر طول دو ساق هر دو مثلث را اندازه بگیرید و ببینید برابر است (حالت ساق-ساق)، مطمئن می‌شوید که این دو مثلث هم‌نهشت هستند و قاب شما متقارن خواهد بود. یا در نقشه‌کشی، اگر بدانید طول نردبان (وتر) و زاویه‌ای که با زمین می‌سازد (یک زاویه‌ی تند) ثابت است، می‌توانید ارتفاع دیوار را به دقت محاسبه کنید (حالت وتر-زاویه‌ی تند).
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
[1] هم‌نهشتی (Congruence): به حالتی گفته می‌شود که دو شکل هندسی بتوانند کاملاً بر روی هم منطبق شوند.
[2] وتر (Hypotenuse): ضلع روبروی زاویه‌ی قائمه در یک مثلث قائم‌الزاویه.
[3] ساق (Legs): دو ضلعی که زاویه‌ی قائمه را در یک مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌دهند.
[4] زاویه‌ی تند (Acute Angle): زاویه‌ای که اندازه‌ی آن از 90 درجه کمتر است.
