حل معادله‌های برداری: پیدا کردن مجهول
بردار چیست و چگونه نمایش داده می‌شود؟
یک بردار[1] کمیتی است که هم اندازه و هم جهت دارد. برای نشان دادن آن از یک پیکان استفاده می‌کنیم. طول پیکان نشان‌دهنده‌ی اندازه (مثلاً مقدار جابجایی) و جهت آن، سوی حرکت را مشخص می‌کند. در کتاب‌های درسی، بردارها معمولاً با حروفی مانند $\vec{a}$ یا $\vec{v}$ نشان داده می‌شوند.
مثلاً، اگر از نقطه‌ی A به نقطه‌ی B بروید، این جابجایی یک بردار است. اگر دوست شما مستقیماً از B به A برگردد، بردار جابجایی او اندازه‌ای برابر با شما اما در جهت مخالف دارد.
انواع اصلی معادله‌های برداری
معمولاً در معادله‌های برداری، ما به دنبال پیدا کردن یک بردار مجهول هستیم. این معادلات می‌توانند شکل‌های ساده‌ای داشته باشند.
| نوع معادله | فرم کلی | هدف حل |
|---|---|---|
| جمعی | $\vec{a} + \vec{x} = \vec{c}$ | پیدا کردن $\vec{x}$ |
| تفریقی | $\vec{x} - \vec{b} = \vec{d}$ | پیدا کردن $\vec{x}$ |
| ترکیبی | $\vec{a} + \vec{x} - \vec{b} = \vec{c}$ | پیدا کردن $\vec{x}$ |
چگونه یک معادله‌ی برداری را حل کنیم؟
برای حل این معادلات، از عملیات جبری ساده روی بردارها استفاده می‌کنیم. قاعده‌ی کلی این است که بردارهای معلوم را به طرف دیگر معادله منتقل می‌کنیم. وقتی براری از طرفی به طرف دیگر می‌رود، علامت آن تغییر می‌کند (مثلاً جمع به تفریق تبدیل می‌شود).
مثال 1: فرض کنید معادله‌ی $\vec{x} + \vec{a} = \vec{b}$ را داریم. برای پیدا کردن $\vec{x}$، بردار $\vec{a}$ را به طرف دیگر می‌بریم: $\vec{x} = \vec{b} - \vec{a}$.
مثال 2: معادله‌ی $\vec{p} - \vec{q} = \vec{r}$ را در نظر بگیرید. برای پیدا کردن $\vec{p}$، بردار $\vec{q}$ را به سمت راست معادله منتقل می‌کنیم: $\vec{p} = \vec{r} + \vec{q}$.
کاربرد معادلات برداری در بازی و مسیریابی
فرض کنید شما و دوستتان در یک بازی "یافتن گنج" شرکت کرده‌اید. نقشه به شما می‌گوید: "از نقطه‌ی شروع، 5 متر به شمال بروید ($\vec{A}$)، سپس مسیری ناشناخته ($\vec{X}$) را بروید تا در نهایت به گنج ($\vec{G}$) برسید." معادله‌ی برداری این مسیر می‌شود: $\vec{A} + \vec{X} = \vec{G}$.
اگر مختصات بردارها را داشته باشیم، می‌توانیم بردار مجهول $\vec{X}$ را حساب کنیم. مثلاً اگر $\vec{A} = (3, 2)$ و $\vec{G} = (8, 5)$ باشد، آنگاه:
$\vec{X} = \vec{G} - \vec{A} = (8-3, 5-2) = (5, 3)$.
یعنی شما باید 5 متر به شرق و 3 متر به شمال بروید تا به گنج برسید!
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: بله، دقیقاً! در عملیات جمع و تفریق، خواص جابجایی و شرکت‌پذیری برای بردارها برقرار است. یعنی ترتیب نوشتن بردارها در جمع مهم نیست: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.
پاسخ: فراموش کردن تغییر علامت هنگام جابه‌جایی بردارها در دو طرف معادله یک اشتباه رایج است. همیشه به یاد داشته باشید وقتی بردار از یک طرف به طرف دیگر می‌رود، علامت آن عوض می‌شود (مثلاً $+ \vec{a}$ به $-\vec{a}$ تبدیل می‌شود).
پاسخ: خیر. ما می‌توانیم بردارها را به صورت هندسی (با رسم پیکان) نیز نمایش دهیم و با روش "اتصال دم به نوک"[2]، بردار مجهول را به صورت گرافیکی پیدا کنیم. این روش مخصوصاً وقتی اعداد در کار نباشند، بسیار مفید است.
پاورقی
[1]بردار (Vector): یک quantity (کمیت) در فیزیک و ریاضی که هم magnitude (اندازه) و هم direction (جهت) دارد.
[2]اتصال دم به نوک (Tip-to-Tail Method): یک روش گرافیکی برای جمع کردن دو یا چند بردار که در آن نوک پیکان اول به دم پیکان دوم متصل می‌شود.
