ضرب پرانتز در پرانتز: رمزگشایی از زبان ریاضی
پرانتزها در دنیای ریاضی چه می‌کنند؟
در ریاضیات، پرانتز مانند یک جعبه یا بسته‌بندی است که چند شیء (عدد یا متغیر) را کنار هم نگه می‌دارد. وقتی دو پرانتز را در هم ضرب می‌کنیم، در واقع داریم تمام محتویات یک جعبه را با تمام محتویات جعبهٔ دیگر مخلوط می‌کنیم. برای درک بهتر، فرض کنید می‌خواهید برای یک مهمانی، کادو بخرید. شما یک بسته (پرانتز اول) دارید که داخل آن یک خودکار و یک مداد است: $(x + y)$. همچنین یک بستهٔ دیگر (پرانتز دوم) دارید که داخل آن یک پاک‌کن و یک خط‌کش است: $(a + b)$. ضرب این دو پرانتز یعنی هر قلم در بستهٔ اول را با هر قلم در بستهٔ دوم جفت کنید تا تمام ترکیب‌های ممکن کادو را بسازید.
قانون طلایی: ضرب همهٔ جمله‌ها در همهٔ جمله‌ها
وقتی می‌نویسیم $(a + b)(c + d)$، باید هر جمله از پرانتز اول را در هر جمله از پرانتز دوم ضرب کنیم. این قانون اصلی است.
بیایید این قانون را با یک مثال عددی ساده آزمایش کنیم. فرض کنید $(2 + 3)(4 + 5)$ را می‌خواهیم حل کنیم. روش معمول: اول داخل پرانتزها را حساب می‌کنیم: $5 \times 9 = 45$. حالا با روش ضرب جمله‌به‌جمله: $(2 \times 4) + (2 \times 5) + (3 \times 4) + (3 \times 5) = 8 + 10 + 12 + 15 = 45$. می‌بینید که هر دو روش یک جواب می‌دهند!
یادگیری گام‌به‌گام با مثال‌های کاربردی
برای اینکه این مفهوم را بهتر درک کنید، مراحل ضرب را با یک مثال از محاسبهٔ مساحت دنبال می‌کنیم. تصور کنید یک باغچهٔ مستطیلی دارید که می‌خواهید آن را گسترش دهید. طول باغچهٔ اصلی $x$ متر و عرض آن $y$ متر است. حالا می‌خواهید از هر طرف، $2$ متر به آن اضافه کنید. مساحت باغچهٔ جدید چقدر خواهد بود؟
طول جدید: $x + 2 + 2 = x + 4$
عرض جدید: $y + 2 + 2 = y + 4$
پس مساحت می‌شود: $(x + 4)(y + 4)$
حال این عبارت را ضرب می‌کنیم:
| گام | عملیات | نتیجه |
|---|---|---|
| 1 | جملهٔ اول پرانتز اول ($x$) را در تمام جمله‌های پرانتز دوم ضرب کن. | $x \times y + x \times 4$ |
| 2 | جملهٔ دوم پرانتز اول ($4$) را در تمام جمله‌های پرانتز دوم ضرب کن. | $4 \times y + 4 \times 4$ |
| 3 | همهٔ حاصل‌ضرب‌ها را با هم جمع کن. | $xy + 4x + 4y + 16$ |
پس مساحت باغچهٔ جدید برابر است با $xy + 4x + 4y + 16$. به این روش، ضرب تمام جملات در تمام جملات می‌گویند.
روش فویل: یک میانبر هوشمندانه
وقتی هر دو پرانتز دقیقاً دو جمله دارند (دو جمله‌ای)، از یک روش سریع به نام فویل1 استفاده می‌کنیم. FOIL مخفف چهار کلمه‌ی انگلیسی است که ترتیب ضرب را نشان می‌دهد.
| حرف | معنی | مثال برای $(a+b)(c+d)$ |
|---|---|---|
| F (First) | جمله‌های اول هر پرانتز را در هم ضرب کن. | $a \times c$ |
| O (Outer) | جمله‌های بیرونی (اولی از اول و دومی از دوم) را ضرب کن. | $a \times d$ |
| I (Inner) | جمله‌های داخلی (دومی از اول و اولی از دوم) را ضرب کن. | $b \times c$ |
| L (Last) | جمله‌های آخر هر پرانتز را در هم ضرب کن. | $b \times d$ |
در نهایت، نتایج این چهار ضرب را با هم جمع می‌کنیم: $ac + ad + bc + bd$.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر، این یک اشتباه رایج است. شما باید همهٔ جملات پرانتز اول را با همهٔ جملات پرانتز دوم ضرب کنید. در مثال $(x+2)(x+3)$، اگر فقط $x \times x$ و $2 \times 3$ را انجام دهید، به جواب نادرست $x^2 + 6$ می‌رسید. در حالی که جواب صحیح $x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ است.
پاسخ: هنگام ضرب، باید علامت هر جمله را دقیقاً در نظر بگیرید. فراموش کردن علامت‌های منفی، بزرگ‌ترین منبع خطاست. برای مثال در $(a - b)(c + d)$، جملهٔ $-b$ را باید در $c$ و $d$ ضرب کنید که می‌شود $-bc$ و $-bd$. حاصل نهایی می‌شود: $ac + ad - bc - bd$.
پاسخ: اصل کار یکسان است. شما باید تک‌تک جملات پرانتز اول را در تک‌تک جملات پرانتز دوم ضرب کنید. برای مثال در $(a + b + c)(d + e)$، شش ضرب داریم: $a \times d$, $a \times e$, $b \times d$, $b \times e$, $c \times d$, $c \times e$.
پاورقی
1فویل (FOIL): این کلمه از حروف اول چهار کلمه‌ی First, Outer, Inner, Last در زبان انگلیسی گرفته شده است. این یک روش سیستماتیک برای ضرب دو عبارت دو جمله‌ای است.
2عبارت جبری (Algebraic Expression): ترکیبی از اعداد، متغیرها (مانند x و y) و عملگرهای ریاضی (مانند + و -) است.
3دو جمله‌ای (Binomial): یک عبارت جبری است که دقیقاً از دو جمله تشکیل شده باشد، مانند $a + b$.
