ضرب جمله در جمله: کلید باز کردن قفل عبارت‌های جبری
عبارت جبری چیست و اجزای آن کدام‌اند؟
قبل از یادگیری ضرب، باید با خود عبارت جبری آشنا شویم. یک عبارت جبری۳ ترکیبی از اعداد، متغیرها (مانند $x$ و $y$) و عمل‌های ریاضی مانند جمع و تفریق است. به هر قسمت از یک عبارت که با علامت جمع یا تفریق از قسمت دیگر جدا می‌شود، یک جمله۴ می‌گوییم. برای مثال، در عبارت $2x + 5y - 3$، سه جمله داریم: $2x$، $5y$ و $-3$.
اگر دو عبارت $(a + b)$ و $(c + d)$ را داشته باشیم، حاصل ضرب آن‌ها به این صورت محاسبه می‌شود:
$(a + b) \times (c + d) = (a \times c) + (a \times d) + (b \times c) + (b \times d)$
چگونه ضرب را مرحله به مرحله انجام دهیم؟
فرض کنید می‌خواهیم دو عبارت $(x + 2)$ و $(x + 3)$ را در هم ضرب کنیم. مراحل کار به شرح زیر است:
- جمله‌ی اول از عبارت اول را در همهی جملات عبارت دوم ضرب می‌کنیم: $x \times x = x^2$ و $x \times 3 = 3x$.
- جمله‌ی دوم از عبارت اول را در همهی جملات عبارت دوم ضرب می‌کنیم: $2 \times x = 2x$ و $2 \times 3 = 6$.
- حالا همهی جواب‌ها را با هم جمع می‌کنیم: $x^2 + 3x + 2x + 6$.
- در نهایت، جملات مشابه۵ را ساده می‌کنیم: $x^2 + 5x + 6$.
پس حاصل ضرب $(x + 2)(x + 3)$ برابر است با $x^2 + 5x + 6$.
محاسبه‌ی مساحت با ضرب جمله در جمله
تصور کنید یک باغچه‌ی مستطیلی داریم که طول آن $(x + 4)$ متر و عرض آن $(x + 2)$ متر است. برای پیدا کردن مساحت باغچه، باید طول و عرض را در هم ضرب کنیم:
| مرحله | عملیات | نتیجه |
|---|---|---|
| 1 | ضرب $x$ (از طول) در همهی جملات عرض | $x^2 + 2x$ |
| 2 | ضرب $4$ (از طول) در همهی جملات عرض | $4x + 8$ |
| 3 | جمع کردن همهی نتایج | $x^2 + 2x + 4x + 8$ |
| 4 | ساده‌سازی (جمع جملات مشابه) | $x^2 + 6x + 8$ |
بنابراین، مساحت باغچه برابر است با $x^2 + 6x + 8$ متر مربع. اگر بدانیم $x$ برابر 3 متر است، می‌توانیم مساحت واقعی را حساب کنیم: $(3)^2 + 6(3) + 8 = 9 + 18 + 8 = 35$ متر مربع.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر، مهم نیست که کدام جمله را اول در کدام جمله ضرب کنید. زیرا در ضرب، خاصیت جابجایی برقرار است. برای مثال، ضرب $a \times b$ با $b \times a$ برابر است.
فراموش کردن ضرب یک جمله در همهی جملات عبارت مقابل، رایج‌ترین اشتباه است. مثلاً در ضرب $(a+b)(c+d)$، بعضی فقط $a$ را در $c$ ضرب می‌کنند و $a \times d$ و بقیه را فراموش می‌کنند. حتماً از یک الگوی منظم (مثلاً جدولی) استفاده کنید.
علامت منفی را دقیقاً مانند یک بخش از جمله در نظر می‌گیریم و آن را هم در ضرب دخیل می‌کنیم. برای مثال، در ضرب $(x - 2)(x + 3)$، جمله‌ی $-2$ را در $x$ و $3$ ضرب می‌کنیم که می‌شود $-2x$ و $-6$.
پاورقی
۱ضرب جمله در جمله (Term-by-Term Multiplication): روشی در جبر برای ضرب دو چندجمله‌ای که در آن هر جمله از اولین عبارت در هر جمله از عبارت دوم ضرب می‌شود.
۲توزیع پذیری (Distributive Property): خاصیتی در ریاضی که بیان می‌کند ضرب یک عدد در یک جمع، برابر است با جمع حاصل‌ضرب آن عدد در هر یک از اجزای جمع. $a(b + c) = ab + ac$.
۳عبارت جبری (Algebraic Expression): ترکیبی از اعداد، متغیرها و عملگرهای ریاضی.
۴جمله (Term): بخشی از یک عبارت جبری که با عملگرهای جمع یا تفریق از بخش‌های دیگر جدا شده است.
۵جملات مشابه (Like Terms): جملاتی که متغیرها و توان‌های یکسان دارند و می‌توان آن‌ها را با هم جمع یا از هم تفریق کرد.
