زاویه‌های روبه‌رو: راز چهارضلعی‌ها
چهارضلعی‌ها و اعضای خانواده‌شان
یک چهارضلعی، هر شکل بسته‌ای است که چهار ضلع و چهار رأس دارد. اما همه‌ی چهارضلعی‌ها شبیه هم نیستند! برخی از آن‌ها ویژگی‌های خاصی دارند که آن‌ها را منحصر به فرد می‌کند. در اینجا با چند عضو مهم از این خانواده آشنا می‌شویم:
| نام شکل | ویژگی‌های کلی | آیا زاویه‌های روبه‌رو برابرند؟ |
|---|---|---|
| متوازی‌الاضلاع | ضلع‌های روبه‌رو با هم موازی و مساوی هستند. | بله |
| مستطیل | همه‌ی زاویه‌ها قائمه۳ هستند. | بله |
| لوزی | چهار ضلع برابر دارند. | بله |
| ذوزنقه | فقط یک جفت ضلع موازی دارد. | خیر |
کشف قانون: زاویه‌های روبه‌رو همیشه برابرند؟
همان‌طور که در جدول بالا دیدید، فقط برخی چهارضلعی‌ها این ویژگی را دارند. برای درک دلیل این موضوع، فرض کنید یک چهارضلعی داریم که متوازی‌الاضلاع است (یعنی ضلع‌های روبه‌روی آن با هم موازی هستند).
چرا این اتفاق می‌افتد؟ اگر دو خط موازی را توسط یک خط مورب قطع کنیم، زاویه‌های متقابل به داخلی که ایجاد می‌شوند با هم برابرند. در یک متوازی‌الاضلاع، این قضیه برای هر دو جفت ضلع موازی صدق می‌کند و در نهایت منجر به برابر شدن زاویه‌های روبه‌رو می‌شود.
زاویه‌های برابر در عمل: از کلاس درس تا زندگی روزمره
شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کتاب‌های ریاضی کاربرد دارند، اما نمونه‌های زیادی از آن‌ها را در اطراف خود می‌بینیم.
یک پنجره‌ی قدیمی را تصور کنید که قاب آن به شکل یک متوازی‌الاضلاع است. اگر بدانید یکی از زاویه‌های آن 120 درجه است، بلافاصله و بدون اندازه‌گیری می‌دانید که زاویه‌ی روبه‌روی آن نیز دقیقاً 120 درجه است. این موضوع به سازنده‌ی پنجره کمک می‌کند تا برش‌های چوب را به درستی و با اطمینان انجام دهد.
یا یک جعبه‌ی مقوایی (مستطیل شکل) را در نظر بگیرید. همه‌ی گوشه‌های آن قائمه هستند. پس هر زاویه 90 درجه است. وقتی می‌گوییم زاویه‌های روبه‌رو برابرند، در این مورد خاص، همه‌ی زاویه‌ها با هم برابرند.
حل مسئله: از معلومات به مجهولات
بیایید از این قانون برای حل یک مسئله استفاده کنیم:
مثال: در متوازی‌الاضلاع زیر، اندازه‌ی زاویه‌ی $B$ برابر 75 درجه است. اندازه‌ی زاویه‌های $A$، $C$ و $D$ را پیدا کنید.
می‌دانیم در متوازی‌الاضلاع، زاویه‌های روبه‌رو برابرند. پس:
- زاویه‌ی $B$ که 75 درجه است، با زاویه‌ی $D$ روبه‌روست. بنابراین: $D = 75^\circ$
- حالا چگونه $A$ و $C$ را پیدا کنیم؟ می‌دانیم مجموع زاویه‌های هر چهارضلعی 360 درجه است. همچنین $A$ با $C$ روبه‌روست و بنابراین با هم برابرند. اگر اندازه‌ی $A$ را $x$ بنامیم، داریم:
$x + 75 + x + 75 = 360$
$2x + 150 = 360$
$2x = 210$
$x = 105$
پس $A = C = 105^\circ$
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. این ویژگی فقط در خانواده‌ی خاصی از چهارضلعی‌ها به نام متوازی‌الاضلاع (که شامل مستطیل، مربع و لوزی نیز می‌شود) صادق است. برای مثال، در یک ذوزنقه، زاویه‌های روبه‌رو لزوماً برابر نیستند.
نه لزوماً. برابر بودن یک جفت زاویه‌ی روبه‌رو برای اثبات متوازی‌الاضلاع بودن کافی نیست. باید حتماً بررسی کنیم که ضلع‌های روبه‌رو نیز موازی باشند. این یک اشتباه رایج است!
یکی از راه‌های ساده این است که بررسی کنیم آیا هر دو جفت زاویه‌های روبه‌رو با هم برابرند یا خیر. اگر هر دو جفت زاویه‌ی روبه‌رو مساوی بودند، می‌توانیم نتیجه بگیریم که آن شکل یک متوازی‌الاضلاع است.
در این مقاله یاد گرفتیم که ویژگی زاویه‌های روبه‌رو برابر یک قانون جهانی برای همه‌ی چهارضلعی‌ها نیست، بلکه مختص خانواده‌ی متوازی‌الاضلاع است. با استفاده از این ویژگی می‌توانیم مسائل مربوط به یافتن زاویه‌های مجهول را به راحتی حل کنیم و درک بهتری از هندسه‌ی اشکال اطرافمان پیدا کنیم. به خاطر داشته باشید که برای تشخیص متوازی‌الاضلاع، باید هر دو جفت زاویه‌ی روبه‌رو را بررسی کنید.
پاورقی
۱زاویه‌های روبه‌رو برابر (Opposite Angles Equal): به ویژگی‌ای در متوازی‌الاضلاع‌ها گفته می‌شود که طبق آن، دو زاویه که در رأس‌های مقابل هم قرار دارند، اندازه‌ی یکسانی دارند.
۲متوازی‌الاضلاع (Parallelogram): نوعی چهارضلعی که در آن هر دو جفت ضلع‌های مقابل، با هم موازی هستند.
۳زاویه‌ی قائمه (Right Angle): زاویه‌ای که اندازه‌ی آن دقیقاً 90 درجه است.
