اعداد اول و مرکب: راز مقسوم‌علیه‌ها
مقسوم‌علیه چیست؟
مقسوم‌علیه‌های یک عدد، اعداد صحیحی هستند که آن عدد بر آن‌ها به‌طور کامل تقسیم می‌شود (باقیمانده صفر می‌شود). برای مثال، فرض کنید $ 12 $ پرتقال داریم و می‌خواهیم آن‌ها را در سبدهایی با تعداد مساوی بچینیم، طوری که هیچ پرتقالی اضافه نیاید.
- می‌توانیم در 1 سبد، هر کدام 12 پرتقال.
- می‌توانیم در 2 سبد، هر کدام 6 پرتقال.
- می‌توانیم در 3 سبد، هر کدام 4 پرتقال.
- می‌توانیم در 4 سبد، هر کدام 3 پرتقال.
- می‌توانیم در 6 سبد، هر کدام 2 پرتقال.
- می‌توانیم در 12 سبد، هر کدام 1 پرتقال.
پس مقسوم‌علیه‌های عدد 12 عبارت‌اند از: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
اعداد اول؛ سربازان تنها!
عددی را اول می‌نامیم که دقیقاً دو مقسوم‌علیه متمایز داشته باشد: عدد 1 و خودش. به بیان دیگر، این اعداد فقط بر 1 و خودشان بخش‌پذیر هستند. مانند یک سرباز که تنها می‌جنگد!
مثال: عدد 7. مقسوم‌علیه‌های آن فقط 1 و 7 هستند. پس 7 یک عدد اول است.
| عدد | مقسوم‌علیه‌ها | تعداد مقسوم‌علیه | نوع عدد |
|---|---|---|---|
| 2 | 1, 2 | 2 | اول |
| 5 | 1, 5 | 2 | اول |
| 11 | 1, 11 | 2 | اول |
اعداد مرکب؛ تیم‌های چندنفره!
عددی را مرکب می‌نامیم که بیش از دو مقسوم‌علیه داشته باشد. این اعداد را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از 1 نوشت. مانند یک تیم ورزشی که از چندین بازیکن تشکیل شده است.
مثال: عدد 9. مقسوم‌علیه‌های آن 1, 3, 9 هستند. چون سه مقسوم‌علیه دارد، یک عدد مرکب است. همچنین می‌توان آن را به صورت $ 3 \times 3 $ نوشت.
| عدد | مقسوم‌علیه‌ها | تعداد مقسوم‌علیه | نوع عدد |
|---|---|---|---|
| 4 | 1, 2, 4 | 3 | مرکب |
| 10 | 1, 2, 5, 10 | 4 | مرکب |
| 15 | 1, 3, 5, 15 | 4 | مرکب |
عدد 1؛ یک استثنا!
عدد 1 تنها یک مقسوم‌علیه دارد (خودش). پس نه اول است (چون دو مقسوم‌علیه ندارد) و نه مرکب (چون بیش از دو مقسوم‌علیه ندارد). بنابراین عدد 1 یک استثناست و در هیچ‌یک از این دو دسته قرار نمی‌گیرد.
چگونه تشخیص دهیم: یک راهنمای گام‌به‌گام
برای تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد، این مراحل ساده را دنبال کنید:
- عدد 1 است؟ اگر بله، پس نه اول است و نه مرکب. کار تمام است.
- همه‌ی مقسوم‌علیه‌های عدد را پیدا کنید. (از 1 شروع کنید و تا خود عدد پیش بروید).
- مقسوم‌علیه‌ها را بشمارید.
- اگر تعداد مقسوم‌علیه‌ها دقیقاً 2 بود: عدد اول است.
- اگر تعداد مقسوم‌علیه‌ها بیشتر از 2 بود: عدد مرکب است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. عدد 2 یک عدد زوج است، اما مقسوم‌علیه‌های آن فقط 1 و 2 هستند. پس عدد 2 یک استثنا و تنها عدد زوج اول است. بقیه‌ی اعداد زوج مرکب هستند.
خیر. بسیاری فکر می‌کنند چون 9 فرد است باید اول باشد. اما مقسوم‌علیه‌های آن 1, 3, 9 هستند. پس سه مقسوم‌علیه دارد و یک عدد مرکب است.
عدد 4 کوچکترین عدد مرکب است. مقسوم‌علیه‌های آن 1, 2, 4 هستند.
پاورقی
[1]مقسوم‌علیه (Divisor): به اعداد صحیحی که عدد مورد نظر بر آن‌ها به طور کامل تقسیم شود، مقسوم‌علیه می‌گویند.
[2]عدد اول (Prime Number): عددی طبیعی بزرگتر از 1 که تنها دو مقسوم‌علیه متمایز (۱ و خودش) داشته باشد.
[3]عدد مرکب (Composite Number): عددی طبیعی بزرگتر از 1 که بیش از دو مقسوم‌علیه داشته باشد.
