نسبت به هم اول: دو عدد که بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک آن‌ها یک باشد.

بروزرسانی شده در: 1:31 1404/09/5 مشاهده: 19 دسته بندی: کپسول آموزشی

اعداد نسبت به هم اول: دوستان خاص دنیای ریاضی

وقتی دو عدد فقط یک دوست مشترک دارند: عدد یک!

در این مقاله می‌آموزیم که اعداد نسبت به هم اول^۱ به دو عددی گفته می‌شود که بزرگترین مقسوم‌علیه^۲ مشترک^۳ آن‌ها برابر با 1 باشد. با بررسی مفهوم مقسوم‌علیه مشترک، ارائه مثال‌های ملموس از زندگی و بیان کاربردهای عملی، این رابطه جالب عددی را به سادگی درک خواهید کرد.

مقسوم‌علیه مشترک چیست؟

قبل از پرداختن به اعداد نسبت به هم اول، باید با مفهوم مقسوم‌علیه یا همان عددهایی که یک عدد بر آن‌ها بخش‌پذیر است، آشنا شویم. برای مثال، مقسوم‌علیه‌های عدد 12 اعداد 1, 2, 3, 4, 6, 12 هستند. وقتی دو عدد مختلف داریم، مقسوم‌علیه‌های مشترک آن‌ها، اعدادی هستند که هر دو عدد بر آن‌ها بخش‌پذیرند. بزرگترین عدد در بین این مقسوم‌علیه‌های مشترک را بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک^۴ یا ب.م.م می‌نامیم.

فرمول تشخیص: دو عدد $a$ و $b$ نسبت به هم اول هستند اگر و تنها اگر $ \gcd(a, b) = 1 $.

چگونه اعداد نسبت به هم اول را تشخیص دهیم؟

برای تشخیص این اعداد، کافی است مراحل ساده زیر را طی کنید:

گام	روش انجام	مثال: اعداد 9 و 16
1	مقسوم‌علیه‌های هر عدد را بنویسید.	مقسوم‌علیه‌های 9: 1, 3, 9 مقسوم‌علیه‌های 16: 1, 2, 4, 8, 16
2	مقسوم‌علیه‌های مشترک را پیدا کنید.	مقسوم‌علیه‌های مشترک: 1
3	بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک را مشخص کنید.	ب.م.م = 1
4	نتیجه‌گیری	چون ب.م.م برابر 1 است، این دو عدد نسبت به هم اول هستند. نسبت به هم اول

مقایسه با مثال: چه زمانی دو عدد نسبت به هم اول نیستند؟

برای درک بهتر، دو حالت را مقایسه می‌کنیم. فرض کنید دو جفت عدد داریم:

جفت عدد	مقسوم‌علیه‌های مشترک	ب.م.م	وضعیت
8 و 15	1	1	هم اول
12 و 18	1, 2, 3, 6	6	غیر هم اول

کاربرد اعداد نسبت به هم اول در زندگی روزمره

شاید فکر کنید این مفهوم فقط در کتاب‌های ریاضی کاربرد دارد، اما نمونه‌های ساده‌ای از آن در اطراف ما وجود دارد.

مثال ۱: چرخ دنده‌ها
فرض کنید دو چرخ‌دنده که در هم گیر کرده‌اند. اگر تعداد دندانه‌های یکی 7 و دیگری 8 باشد (دو عدد نسبت به هم اول)، برای اینکه هر دو دنده به نقطه شروع خود بازگردند، باید چرخ‌دنده اول 8 بار و دنده دوم 7 بار بچرخد. این باعث سایش یکنواخت و عمر طولانی‌تر چرخ‌دنده‌ها می‌شود.

مثال ۲: برنامه‌ریزی ورزش
فرض کنید شما و دوستتان هر کدام یک برنامه ورزشی دارید. شما هر 3 روز یکبار و دوستتان هر 4 روز یکبار به باشگاه می‌روید. روز اول با هم در باشگاه حاضر می‌شوید. دفعه بعدی چه زمانی هم‌زمان در باشگاه خواهید بود؟ از آنجایی که 3 و 4 نسبت به هم اول هستند، تنها زمانی که دوباره هم‌زمان می‌شوید، بعد از 12 روز (3 × 4) خواهد بود.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

آیا دو عدد فرد حتماً نسبت به هم اول هستند؟

خیر. این یک اشتباه رایج است. برای مثال اعداد 9 و 15 هر دو فرد هستند، اما ب.م.م آن‌ها 3 است، پس نسبت به هم اول نیستند.

آیا عدد یک نسبت به همه اعداد دیگر اول است؟

بله. چون مقسوم‌علیه‌های عدد 1 فقط خودش است و ب.م.م آن با هر عدد دیگری همیشه برابر با 1 خواهد بود.

اگر یکی از اعداد اول باشد، آیا حتماً نسبت به هم اول هستند؟

اگر یکی از اعداد اول باشد، فقط زمانی نسبت به عدد دیگر اول است که عدد اول، مقسوم‌علیه عدد دوم نباشد. مثلاً عدد اول 5 نسبت به 9 اول است، اما نسبت به 10 اول نیست چون 5 مقسوم‌علیه 10 است.

جمع‌بندی: اعداد نسبت به هم اول، دو عددی هستند که بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک آن‌ها 1 است. این مفهوم نه تنها پایه‌ای برای یادگیری مباحث پیچیده‌تر ریاضیات است، بلکه در طراحی مکانیزم‌های مختلف و برنامه‌ریزی‌های ساده زندگی نیز کاربرد عملی دارد. تشخیص آن با پیدا کردن مقسوم‌علیه‌های مشترک و بزرگترین آن‌ها به سادگی امکان‌پذیر است.

پاورقی

^۱ اعداد نسبت به هم اول (Relatively Prime / Coprime)
^۲ مقسوم‌علیه (Divisor)
^۳ مشترک (Common)
^۴ بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک (Greatest Common Divisor - GCD)

بزرگترین مقسوم‌علیه مشترکمقسوم‌علیهاعداد اولب.م.مک.م.م

پایهٔ هشتم ریاضی هشتم نسبت به هم اول

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!