اعداد گویای مساوی: در جستجوی ارزش‌های یکسان
عدد گویا چیست؟
یک عدد گویا عددی است که می‌توان آن را به صورت کسری نوشت که در آن صورت و مخرج هر دو عدد صحیح۳ باشند و مخرج برابر با صفر نباشد. برای مثال، عدد $\frac{3}{4}$ یک عدد گویا است. در زندگی واقعی، اگر یک کیک را بین ۴ دوست تقسیم کنید و شما ۳ تکه از آن را بگیرید، سهم شما $\frac{3}{4}$ کیک است.
چگونه اعداد گویای مساوی پیدا کنیم؟
برای پیدا کردن اعداد گویای مساوی برای یک کسر داده شده، دو روش اصلی وجود دارد:
۱. ضرب صورت و مخرج در یک عدد: اگر صورت و مخرج یک کسر را در یک عدد طبیعی یکسان (غیر از صفر) ضرب کنیم، ارزش کسر تغییر نمی‌کند. برای مثال، اگر صورت و مخرج کسر $\frac{1}{2}$ را در ۳ ضرب کنیم، به کسر $\frac{3}{6}$ می‌رسیم که ارزشی برابر با $\frac{1}{2}$ دارد. درست مانند این که یک نیم‌های پیتزا را با ۳ تکه از ۶ تکه‌ی مساوی یک پیتزای دیگر مقایسه کنید. هر دو، نصف پیتزا را نشان می‌دهند.
۲. تقسیم صورت و مخرج بر یک عدد: اگر صورت و مخرج یک کسر را بر یک عدد طبیعی یکسان (غیر از صفر) تقسیم کنیم، ارزش کسر تغییر نمی‌کند. این کار ساده‌سازی۴ کسر نامیده می‌شود. برای مثال، کسر $\frac{4}{8}$ را می‌توان هم صورت و هم مخرج آن را بر ۴ تقسیم کرد تا به کسر ساده‌تر $\frac{1}{2}$ برسیم.
| عدد گویای اصلی | عملیات (ضرب یا تقسیم) | عدد گویای مساوی | بررسی تساوی (a×d = b×c) |
|---|---|---|---|
| $\frac{2}{3}$ | ضرب در ۲ | $\frac{4}{6}$ | (2×6 = 12) و (3×4 = 12) |
| $\frac{5}{10}$ | تقسیم بر ۵ | $\frac{1}{2}$ | (5×2 = 10) و (10×1 = 10) |
| $\frac{3}{7}$ | ضرب در ۴ | $\frac{12}{28}$ | (3×28 = 84) و (7×12 = 84) |
کاربرد اعداد گویای مساوی در خرید
فرض کنید با دوستتان به یک فروشگاه رفته‌اید. شما یک بسته ۴ تایی نوشابه به قیمت ۲۰,۰۰۰ تومان می‌بینید و دوستتان یک بسته ۸ تایی از همان نوشابه به قیمت ۳۸,۰۰۰ تومان پیدا می‌کند. کدام بسته به صرفه‌تر است؟ برای مقایسه، باید قیمت هر نوشابه را در هر بسته پیدا کنیم. این کار با ساختن کسرهای مساوی انجام می‌شود.
- قیمت هر نوشابه در بسته ۴ تایی: $\frac{20000}{4}$ تومان.
- قیمت هر نوشابه در بسته ۸ تایی: $\frac{38000}{8}$ تومان.
حالا برای مقایسه‌ی آسان‌تر، می‌خواهیم مخرج‌های این دو کسر را مساوی کنیم. می‌توانیم کسر اول را در ۲ ضرب کنیم تا مخرج آن نیز ۸ شود: $\frac{20000}{4} = \frac{40000}{8}$. حالا مقایسه راحت است: $\frac{40000}{8}$ در مقابل $\frac{38000}{8}$. می‌بینیم که قیمت هر نوشابه در بسته بزرگ‌تر کمتر است، پس خرید بسته ۸ تایی به صرفه‌تر است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
۱عدد گویا (Rational Number): به عددی گفته می‌شود که بتوان آن را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت که مخرج آن صفر نباشد.
۲اعداد گویای مساوی (Equivalent Rational Numbers): به اعداد گویایی گفته می‌شود که شکل کسری متفاوتی دارند اما مقدار یکسانی را نشان می‌دهند.
۳عدد صحیح (Integer): به اعداد مثبت و منفی کامل و همچنین صفر گفته می‌شود (مانند ... , ۲-, ۱-, ۰, ۱, ۲).
۴ساده‌سازی (Simplification): فرآیند تقسیم صورت و مخرج یک کسر بر بزرگترین مقسوم‌علیه‌مشترک۵ آن‌ها تا کسر به ساده‌ترین شکل ممکن برسد.
۵بزرگترین مقسوم‌علیه‌مشترک (Greatest Common Divisor - GCD): بزرگترین عددی که هر دو عدد بر آن بخش‌پذیر باشند.
