احتمال: پیش‌بینی دنیای شانس
احتمال چیست و چگونه کار می‌کند؟
احتمال3 به ما کمک می‌کند تا شانس رخ دادن یک اتفاق را به صورت عددی بیان کنیم. وقتی می‌گوییم «احتمال باریدن فردا ۵۰ درصد است»، در واقع داریم یک پیش‌بینی عددی انجام می‌دهیم. پایه و اساس این محاسبه، شمارش است. ما همه حالت‌های ممکن را می‌شماریم، سپس حالت‌هایی را که برایمان مطلوب هستند، شمارش کرده و آن‌ها را بر کل حالت‌ها تقسیم می‌کنیم.
$ P = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌های ممکن}} $
که در آن P نشان‌دهنده احتمال رخ دادن آن پیشامد خاص است.
برای درک بهتر، فرض کنید یک سکه سالم دارید. وقتی آن را به هوا پرتاب می‌کنید، تنها دو حالت ممکن وجود دارد: شیر یا خط. فضای نمونه این آزمایش، مجموعه {شیر، خط} است. اگر پیشامد مطلوب شما «آمدن شیر» باشد، فقط یک حالت مطلوب دارید. پس احتمال آمدن شیر می‌شود: $ \frac{1}{2} $ یا 0.5.
فضای نمونه و پیشامد مطلوب
برای محاسبه دقیق احتمال، ابتدا باید فضای نمونه را به درستی تعریف کنیم. فضای نمونه، مجموعه همه نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی است. سپس پیشامد مطلوب، زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه است که شامل نتایجی می‌شود که ما انتظار داریم رخ دهند.
| آزمایش | فضای نمونه (همه حالت‌ها) | مثال پیشامد مطلوب | تعداد حالت مطلوب |
|---|---|---|---|
| پرتاب تاس | {1, 2, 3, 4, 5, 6} | آمدن عدد زوج | 3 حالت ({2, 4, 6}) |
| کشیدن یک مهره از کیسه | {قرمز، آبی، سبز، زرد} | کشیدن مهره آبی | 1 حالت |
| پرتاب دو سکه | {(شیر،شیر)، (شیر،خط)، (خط،شیر)، (خط،خط)} | حداقل یک شیر | 3 حالت |
احتمال در زندگی روزمره
بیایید با یک مثال از زندگی واقعی شروع کنیم. تصور کنید یک کیسه حاوی 5 مهره قرمز، 3 مهره آبی و 2 مهره سبز دارید. اگر به صورت تصادفی یک مهره از داخل کیسه بردارید، احتمال اینکه مهره آبی باشد چقدر است؟
اول کل حالت‌های ممکن را می‌شماریم: 5 + 3 + 2 = 10 مهره. پس 10 حالت ممکن برای بیرون آوردن مهره وجود دارد.
حالا حالت‌های مطلوب را می‌شماریم: ما مهره آبی می‌خواهیم و 3 مهره آبی داریم. پس 3 حالت مطلوب وجود دارد.
در نهایت، احتمال را محاسبه می‌کنیم: $ P = \frac{3}{10} = 0.3 $. یعنی شانس شما برای برداشتن یک مهره آبی، 30 درصد است.
مثال دیگر: اگر یک روز از هفته را به صورت تصادفی انتخاب کنید، احتمال اینکه آن روز جمعه باشد چقدر است؟ هفت روز در هفته داریم (حالت ممکن: 7) و فقط یک جمعه (حالت مطلوب: 1). پس احتمال $ \frac{1}{7} $ می‌شود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. تاس حافظه ندارد! در هر پرتاب جدید، احتمال آمدن هر عدد (از ۱ تا ۶) دقیقاً برابر با $ \frac{1}{6} $ است. نتایج قبلی روی نتایج آینده تأثیری ندارند.
پاسخ: بله، دقیقاً. احتمال صفر به این معنی است که هیچ حالت مطلوبی در بین حالت‌های ممکن وجود ندارد. مثلاً احتمال آمدن عدد ۷ روی یک تاس استاندارد، صفر است.
پاسخ: احتمال یک پیش‌بینی در بلندمدت است. اگر فقط چند بار یک آزمایش را انجام دهید، ممکن است نتایج با پیش‌بینی تفاوت داشته باشد. اما اگر آزمایش را بارها و بارها تکرار کنید، میانگین نتایج به پیش‌بینی احتمال نزدیک می‌شود.
محاسبه احتمال بر پایه شمارش استوار است. کافی است مراحل ساده زیر را دنبال کنید:
- همه حالت‌های ممکن برای آن آزمایش را بشمارید (فضای نمونه).
- حالت‌هایی را که می‌خواهید رخ دهند، بشمارید (پیشامد مطلوب).
- تعداد حالت‌های مطلوب را بر تعداد کل حالت‌های ممکن تقسیم کنید.
پاورقی
1فضای نمونه (Sample Space): به مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی گفته می‌شود. برای مثال فضای نمونه پرتاب یک تاس، اعداد 1 تا 6 است.
2پیشامد مطلوب (Favorable Event): به زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه گفته می‌شود که شامل نتایجی است که ما به عنوان نتیجه مطلوب در نظر گرفته‌ایم.
3احتمال (Probability): شاخه‌ای از ریاضیات که به بررسی شانس رخ دادن رویدادها می‌پردازد.
