پیدا کردن مختصات بردار: کم کردن مختصات ابتدا از مختصات انتهای بردار

بروزرسانی شده در: 13:52 1404/08/26 مشاهده: 6 دسته بندی: کپسول آموزشی

پیدا کردن مختصات بردار: یک سفر مختصاتی

کم کردن مختصات ابتدا از مختصات انتهای بردار

در این مقاله یاد می‌گیریم که چگونه با یک روش ساده، مختصات یک بردار را پیدا کنیم. این روش که بر اساس کم کردن مختصات نقطهٔ ابتدا از نقطهٔ انتهای بردار است، مانند نقشه‌ای برای حرکت عمل می‌کند. ما با مثال‌هایی از دنیای اطراف، این مفهوم را به سادگی توضیح خواهیم داد و با کمک جدول و فرمول، آن را برای همیشه به خاطر خواهید سپرد. کلیدواژه‌های مهم این مقاله عبارت‌اند از: بردار، مختصات، کم کردن مختصات و نقطهٔ ابتدا و انتها.

بردار چیست و چه تفاوتی با نقطه دارد؟

فرض کنید در حیاط مدرسه ایستاده‌اید. اگر فقط بگویید «من اینجا ایستاده‌ام»، این نشان‌دهندهٔ یک نقطه¹ است. اما اگر بگویید «من از درب مدرسه تا آبنما رفتم»، این یک بردار² را توصیف می‌کند. بردار هم اندازه دارد و هم جهت. در ریاضیات، یک بردار با یک پیکان نشان داده می‌شود که نقطهٔ شروع و نقطهٔ پایان دارد.

فرمول اصلی: اگر بردار از نقطه $A(x_1, y_1)$ به نقطه $B(x_2, y_2)$ برود، مختصات بردار $\overrightarrow{AB}$ از رابطهٔ زیر به دست می‌آید: $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

برای مثال، اگر نقطهٔ A نشان‌دهندهٔ خانهٔ شما و نقطهٔ B نشان‌دهندهٔ مدرسه باشد، بردار $\overrightarrow{AB}$ مسیر و مقدار حرکت شما از خانه به مدرسه را نشان می‌دهد.

گام‌به‌گام: چگونه مختصات بردار را حساب کنیم؟

برای پیدا کردن مختصات یک بردار، فقط سه گام ساده را دنبال کنید:

گام	شرح	مثال عملی
1	مختصات نقطهٔ ابتدا (A) و نقطهٔ انتها (B) را بنویسید.	A(2, 1) و B(5, 4)
2	مختصات x نقطهٔ ابتدا را از مختصات x نقطهٔ انتها کم کنید.	5 - 2 = 3
3	مختصات y نقطهٔ ابتدا را از مختصات y نقطهٔ انتها کم کنید.	4 - 1 = 3
نتیجه	مختصات بردار را به صورت جفت مرتب بنویسید.	$\overrightarrow{AB} = (3, 3)$

در این مثال، بردار $\overrightarrow{AB}$ به این معنی است که شما 3 واحد به سمت راست و 3 واحد به سمت بالا حرکت کرده‌اید.

کاربرد بردارها در زندگی روزمره

بردارها فقط در کتاب‌های ریاضی نیستند! آن‌ها در بسیاری از فعالیت‌های روزمره دیده می‌شوند. وقتی با دوچرخه از یک سر کوچه به سر دیگر آن می‌روید، مسیر حرکت شما یک بردار است. اگر نقشهٔ یک شهر را در نظر بگیرید، حرکت از میدان اصلی به سمت کتابخانهٔ شهر را می‌توان با یک بردار نشان داد. حتی پرواز یک هواپیما از تهران به مشهد نیز یک بردار بزرگ است! در تمام این موارد، برای فهمیدن این که «چقدر و در چه جهتی» حرکت کرده‌اید، باید مختصات بردار را حساب کنید.

مثال: فرض کنید شما در نقطهٔ A(1, 2) (خانه) ایستاده‌اید و می‌خواهید به نقطهٔ B(4, 6) (پارک) بروید. مختصات بردار حرکت شما می‌شود: $\overrightarrow{AB} = (4-1, 6-2) = (3, 4)$. این یعنی شما باید 3 بلوک به شرق و 4 بلوک به شمال بروید.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سؤال: اگر نقطهٔ ابتدا و انتهای بردار جابه‌جا شوند، چه اتفاقی می‌افتد؟

پاسخ: اگر بردار $\overrightarrow{BA}$ را در نظر بگیریم، جهت بردار عکس می‌شود. از فرمول استفاده می‌کنیم: $\overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$. برای مثال، اگر $\overrightarrow{AB} = (3, 3)$ باشد، آن‌گاه $\overrightarrow{BA} = (-3, -3)$ خواهد بود. این بردار جدید هم اندازهٔ بردار اول است اما در جهت مخالف آن قرار دارد.

سؤال: آیا ترتیب کم کردن مختصات مهم است؟ چرا باید همیشه انتها منهای ابتدا باشد؟

پاسخ: بله، بسیار مهم است! چون بردار جهت دارد. اگر این ترتیب را رعایت نکنید، جهت بردار اشتباه می‌شود. این قانون مانند این است که بگوییم «مقصد منهای مبدأ». همیشه مختصات نقطهٔ انتها را از مختصات نقطهٔ ابتدا کم می‌کنیم تا جهت درست بردار به دست آید.

سؤال: اگر مختصات بردار (0,0) شود، چه معنایی دارد؟

پاسخ: اگر مختصات بردار (0,0) شود، به این معنی است که نقطهٔ ابتدا و انتهای بردار یکی هستند. یعنی شما هیچ حرکتی نکرده‌اید! این بردار را بردار صفر³ می‌نامند.

جمع‌بندی: پیدا کردن مختصات بردار یک مهارت پایه‌ای و کاربردی در ریاضیات است. به یاد داشته باشید که همیشه برای به دست آوردن مختصات بردار، مختصات نقطهٔ ابتدا را از مختصات نقطهٔ انتها کم می‌کنیم: $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$. این روش ساده به شما کمک می‌کند تا حرکت و جهت را در صفحه به راحتی توصیف کنید.

پاورقی

¹نقطه (Point): یک مکان دقیق در فضای دو بعدی که هیچ اندازه یا جهتی ندارد. معادل انگلیسی: Point.

²بردار (Vector): یک کمیت ریاضی که هم اندازه (مقدار) و هم جهت دارد. معادل انگلیسی: Vector.

³بردار صفر (Zero Vector): برداری که اندازهٔ آن صفر است و هیچ جهتی ندارد. معادل انگلیسی: Zero Vector.

مختصات بردارنقطه ابتدا و انتهاکم کردن مختصاتبردار در ریاضیمحاسبه بردار

پایهٔ هفتم ریاضی هفتم پیدا کردن مختصات بردار

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!