جمع متناظر با بردار: جمع دو یا چند بردار با قرار دادن آن‌ها به‌صورت سر و ته

جمع برداری: وقتی نیروها و جابجایی‌ها باهم ترکیب می‌شوند

بردار چیست و چه ویژگی‌هایی دارد؟

یک بردار کمیتی است که هم اندازه^۴ دارد و هم جهت. برای مثال، وقتی شما ۵ متر به سمت شمال راه می‌روید، این یک بردار جابجایی است. اندازه آن ۵ متر و جهت آن شمال است. برخلاف بردار، نرده‌ای^۵ فقط اندازه دارد، مثل دمای هوا که ۲۵ درجه سانتی‌گراد است.

بردارها را معمولاً با یک پیکان نشان می‌دهند. طول پیکان نشان‌دهنده اندازه و جهت پیکان نشان‌دهنده جهت بردار است.

چگونه بردارها را جمع می‌کنیم؟

برای جمع کردن دو یا چند بردار، از روش "قرار دادن سر و ته" یا "روش مثلث" استفاده می‌کنیم. در این روش، بردارها را به ترتیب پشت سر هم می‌چینیم، به طوری که سر بردار اول به ته بردار دوم متصل شود. بردار حاصل، برداری است که از ته بردار اول به سر بردار آخر رسم می‌شود.

مثال: فرض کنید از نقطه A، ۳ کیلومتر به شرق رفته‌اید (بردار $ \vec{B} $) و سپس ۴ کیلومتر به شمال حرکت کرده‌اید (بردار $ \vec{A} $). مکان نهایی شما نسبت به نقطه شروع (بردار $ \vec{R} $) را چگونه پیدا می‌کنید؟

1. بردار اول ($ \vec{B} $) را رسم کنید.
2. بردار دوم ($ \vec{A} $) را طوری رسم کنید که ته آن روی سر بردار اول قرار گیرد.
3. حالا بردار حاصل جمع ($ \vec{R} $)، برداری است که از ته بردار اول به سر بردار دوم می‌رود.

در این مثال، بردار $ \vec{R} $ اندازه‌ای معادل ۵ کیلومتر خواهد داشت (با استفاده از قضیه فیثاغورث: $ R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $).

جمع برداری در بازی و ورزش

در یک بازی فوتبال، وقتی بازیکنی توپ را به هم‌تیمی‌اش پاس می‌دهد، مسیر حرکت توپ یک بردار است. اگر هم‌تیمی او در حال دویدن به سمت جلو باشد، برای دریافت توپ باید مسیر دویدن خود را با مسیر پاس ترکیب کند. این ترکیب در واقع یک جمع برداری است که مسیر بهینه حرکت او را تعیین می‌کند.

مثال دیگر، قایق‌رانی در رودخانه است. اگر قایقی مستقیماً به سمت آن سوی رودخانه پارو بزند، اما جریان آب او را به سمت پایین ببرد، مسیر واقعی قایق، حاصل جمع بردار سرعت پارو زدن و بردار سرعت جریان آب خواهد بود.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

^۱جمع برداری (Vector Addition): عملیات ریاضی برای ترکیب دو یا چند بردار و یافتن بردار حاصل (برآیند).

^۲روش سر و ته (Tip-to-Tail Method): روشی هندسی برای جمع برداری که در آن بردارها به صورت متوالی و پشت سر هم قرار می‌گیرند.

^۳برآیند (Resultant): بردار حاصل از جمع دو یا چند بردار.

^۴اندازه (Magnitude): بزرگی یا طول یک بردار که یک کمیت نرده‌ای است.

^۵نرده‌ای (Scalar): کمیتی که فقط دارای اندازه است و فاقد جهت، مانند جرم یا دما.