کشف دنیای پنهان: جذر و ریشه
توان؛ وقتی اعداد بزرگ می‌شوند
فرض کنید یک مربع کاشی داریم که هر ضلع آن 5 سانتی‌متر است. مساحت این مربع چقدر است؟ می‌دانیم که مساحت مربع برابر است با: $ 5 \times 5 = 25 $. به این عمل به توان دو رساندن یا مجذور می‌گویند. یعنی عدد 5 را به توان 2 رسانده‌ایم.
حالا فرض کنید یک مکعب داریم که طول، عرض و ارتفاع آن هر کدام 3 سانتی‌متر است. حجم این مکعب چقدر است؟ حجم مکعب برابر است با: $ 3 \times 3 \times 3 = 27 $. به این عمل به توان سه رساندن یا مکعب می‌گویند. یعنی عدد 3 را به توان 3 رسانده‌ایم.
به توان دو رساندن (مجذور):$ a^2 = a \times a $
به توان سه رساندن (مکعب):$ a^3 = a \times a \times a $
جذر دوم؛ پرسیدن سوال برعکس
حالا برعکس این سوال را می‌پرسیم: «اگر مساحت یک زمین مربع‌شکل 49 مترمربع باشد، طول هر ضلع آن چقدر است؟» برای پیدا کردن جواب، باید ببینیم کدام عدد اگر در خودش ضرب شود، حاصل 49 می‌شود. می‌دانیم که $ 7 \times 7 = 49 $. پس طول هر ضلع 7 متر است. به این عمل محاسبهٔ جذر دوم می‌گویند و آن را با نماد $ \sqrt{} $ نشان می‌دهند. یعنی $ \sqrt{49} = 7 $.
پس جذر دوم، عملیات معکوس به توان دو رساندن است. اگر $ a^2 = b $ باشد، آنگاه $ \sqrt{b} = a $.
| عمل اصلی (توان) | عمل معکوس (ریشه) | مثال از زندگی |
|---|---|---|
| به توان دو رساندن (محاسبه مساحت) | جذر دوم (پیدا کردن طول ضلع از روی مساحت) | محاسبه طول ضلع یک زمین مربع از روی مساحت آن |
| به توان سه رساندن (محاسبه حجم) | ریشه سوم (پیدا کردن طول ضلع از روی حجم) | محاسبه طول ضلع یک مکعب از روی حجم آن |
ریشه سوم؛ نفوذ به دنیای سه‌بعدی
حالا سراغ دنیای سه‌بعدی می‌رویم. فرض کنید یک جعبهٔ مکعبی‌شکل داریم که حجم آن 64 سانتی‌مترمکعب است. ما می‌خواهیم طول هر ضلع این مکعب را پیدا کنیم. باید ببینیم کدام عدد اگر سه بار در خودش ضرب شود، حاصل 64 می‌شود. می‌دانیم که $ 4 \times 4 \times 4 = 64 $. پس طول هر ضلع 4 سانتی‌متر است. به این عمل محاسبهٔ ریشهٔ سوم می‌گویند و آن را با نماد $ \sqrt[3]{} $ نشان می‌دهند. یعنی $ \sqrt[3]{64} = 4 $.
پس ریشهٔ سوم، عملیات معکوس به توان سه رساندن است. اگر $ a^3 = b $ باشد، آنگاه $ \sqrt[3]{b} = a $.
کاربردهای جذر و ریشه در زندگی واقعی
این مفاهیم فقط در کتاب‌های ریاضی نیستند، آن‌ها در اطراف ما هستند!
ساختمان‌سازی: یک مهندس برای اینکه بداند یک زمین مربع‌شکل با مساحت 121 مترمربع، چه طول و عرضی دارد، باید جذر دوم 121 را حساب کند: $ \sqrt{121} = 11 $. پس هر ضلع 11 متر است.
طراحی بسته‌بندی: یک طراح می‌خواهد یک جعبهٔ مکعبی بسازد که دقیقاً 125 سانتی‌مترمکعب شیرینی را در خود جای دهد. برای پیدا کردن اندازهٔ جعبه، ریشهٔ سوم 125 را محاسبه می‌کند: $ \sqrt[3]{125} = 5 $. پس باید جعبه‌ای با اضلاع 5 سانتی‌متری بسازد.
کشاورزی: یک کشاورز که زمینی مربع‌شکل دارد و می‌داند مساحت آن 81 مترمربع است، برای خرید حصار باید محیط زمین را حساب کند. او اول طول ضلع را با جذر دوم پیدا می‌کند: $ \sqrt{81} = 9 $ متر. سپس محیط را: 9 × 4 = 36 متر.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
۱جذر دوم (Square Root): عملیاتی که عددی را پیدا می‌کند که وقتی در خودش ضرب شود، عدد داده‌شده را حاصل کند.
۲ریشهٔ سوم (Cube Root): عملیاتی که عددی را پیدا می‌کند که وقتی سه بار در خودش ضرب شود، عدد داده‌شده را حاصل کند.
۳به توان دو رساندن (Squaring): عمل ضرب یک عدد در خودش.
۴به توان سه رساندن (Cubing): عمل ضرب یک عدد در خودش و سپس در خودش دوباره (سه بار).
۵اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعه‌ای از اعداد که شامل اعداد مثبت، منفی و اعشاری می‌شوند.
