قانون توان به توان: وقتی قدرت، قدرت می‌گیرد!
توان چیست و چرا به قانون توان به توان نیاز داریم؟
فرض کنید یک مربع کاغذی دارید که هر ضلع آن 2 سانتی‌متر است. مساحت این مربع چقدر است؟ مساحت مربع برابر است با $ 2 \times 2 $ که به صورت $ 2^2 $ نوشته می‌شود و می‌خوانیم "دو به توان دو". حالا تصور کنید یک مکعب دارید که هر ضلع آن همین مربع $ 2^2 $ باشد! برای محاسبه حجم این مکعب عجیب، باید $ (2^2)^3 $ را حساب کنید. اینجا همان جایی است که قانون توان به توان به کمک ما می‌آید و محاسبات پیچیده را بسیار ساده می‌کند.
$ (a^m)^n = a^{m \times n} $
چگونه از این قانون استفاده کنیم؟ (گام‌به‌گام)
برای استفاده از این قانون، فقط سه گام ساده را دنبال کنید:
گام اول: پایه۲ اصلی را شناسایی کنید. پایه، همان عددی است که توان دارد.
گام دوم: توان اول (توان داخلی) و توان دوم (توان خارجی) را پیدا کنید.
گام سوم: این دو توان را در هم ضرب کنید و حاصل را به عنوان توان جدید، روی پایه اصلی بنویسید.
| مسئله اولیه | شناسایی پایه و توان‌ها | اعمال قانون (ضرب توان‌ها) | حاصل نهایی |
|---|---|---|---|
| $ (5^2)^3 $ | پایه = 5, توان اول = 2, توان دوم = 3 | $ 2 \times 3 = 6 $ | $ 5^6 $ |
| $ (10^4)^2 $ | پایه = 10, توان اول = 4, توان دوم = 2 | $ 4 \times 2 = 8 $ | $ 10^8 $ |
| $ (x^3)^5 $ | پایه = x, توان اول = 3, توان دوم = 5 | $ 3 \times 5 = 15 $ | $ x^{15} $ |
کاربرد قانون توان به توان در دنیای اطراف ما
این قانون فقط برای کتاب‌های ریاضی نیست! فرض کنید یک باکتری در یک آزمایشگاه، هر 1 ساعت، تعداد خود را 2 برابر می‌کند. یعنی پس از 1 ساعت، $ 2^1 $ باکتری داریم. حالا اگر بخواهیم بدانیم پس از 3 روز (هر روز 24 ساعت) چند باکتری خواهیم داشت؟ رشد باکتری در هر روز $ (2^{24}) $ است و برای 3 روز می‌شود $ ((2^{24})^3) $. با استفاده از قانون توان به توان، این محاسبه سریع می‌شود: $ 2^{24 \times 3} = 2^{72} $. حالا می‌توانیم با ماشین‌حساب، عدد $ 2^{72} $ را که عدد بسیار بزرگی است، به راحتی محاسبه کنیم!
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
۱قانون توان به توان (Power of a Power Rule): یک قانون در ریاضی که بیان می‌دارد وقتی یک عبارت تواندار به توان دیگری میرسد، حاصل برابر با همان پایه به توان حاصل ضرب دو توان است.
۲پایه (Base): عددی که در عملیات توان، بارها در خودش ضرب می‌شود.