قانون ضرب با پایه‌های مساوی: جمع توان‌ها
یک راه ساده برای محاسبه‌ی ضرب اعداد بزرگ با پایه‌ی یکسان
در این مقاله یاد می‌گیریم که وقتی می‌خواهیم چند عدد توان‌دار با پایه‌ی یکسان را در هم ضرب کنیم، چگونه می‌توانیم به سرعت و بدون محاسبه‌ی کامل، جواب را پیدا کنیم. این مقاله به قانون ضرب توان‌ها، جمع کردن توان‌ها، مثال‌های کاربردی از زندگی روزمره و حل گام‌به‌گام مسائل می‌پردازد تا این مفهوم ریاضی را به سادگی برای دانش‌آموزان پایه هفتم توضیح دهد.
توان چیست و چگونه نمایش داده می‌شود؟
قبل از یادگیری قانون ضرب، باید بدانیم توان۱ چیست. فرض کنید می‌خواهیم عدد 5 را سه بار در خودش ضرب کنیم. به جای نوشتن 5 × 5 × 5، می‌توانیم به صورت $ 5^3 $ نشان دهیم. در اینجا 5پایه۲ و 3توان نام دارد. توان نشان می‌دهد پایه چند بار در خودش ضرب شده است.
فرمول کلی نمایش توان: اگر $ a $ یک عدد و $ n $ یک عدد طبیعی باشد، آنگاه $ a^n = a × a × a × ... × a $ (به تعداد $ n $ بار).
برای مثال، در یک جعبه‌ی مداد، ۳ ردیف و در هر ردیف ۳ دسته‌ی ۳ تایی مداد داریم. تعداد کل مدادها می‌شود $ 3 × 3 × 3 = 3^3 = 27 $.
قانون اصلی ضرب توان‌ها با پایه‌ی یکسان
حالا می‌رسیم به قانون اصلی. وقتی دو عبارت توان‌دار با پایه‌ی یکسان را در هم ضرب می‌کنیم، پایه را می‌نویسیم و توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم. این قانون به صورت زیر نوشته می‌شود:
قانون ضرب توان‌ها با پایه‌ی مساوی: برای هر عدد $ a $ و اعداد طبیعی $ m $ و $ n $، داریم: $ a^m × a^n = a^{m+n} $.
برای درک بهتر، فرض کنید $ 2^3 × 2^2 $ را می‌خواهیم حساب کنیم. $ 2^3 $ یعنی 2 × 2 × 2 و $ 2^2 $ یعنی 2 × 2. اگر این دو را در هم ضرب کنیم، در کل 2، پنج بار در خودش ضرب شده است: $ 2^3 × 2^2 = (2×2×2) × (2×2) = 2^5 = 2^{3+2} = 32 $.
| مسئله |
حل با قانون جمع توان‌ها |
حل طولانی |
جواب |
| $ 4^2 × 4^3 $ |
$ 4^{2+3} = 4^5 $ |
(4×4) × (4×4×4) |
1024 |
| $ 10^1 × 10^4 $ |
$ 10^{1+4} = 10^5 $ |
10 × (10×10×10×10) |
100000 |
| $ 7^5 × 7^0 $ |
$ 7^{5+0} = 7^5 $ |
هر عدد به توان صفر می‌شود ۱: $ 7^5 × 1 $ |
16807 |
کاربرد قانون ضرب توان در زندگی روزمره
این قانون فقط در کتاب‌های ریاضی نیست، بلکه در زندگی روزمره هم کاربرد دارد. فرض کنید یک باکتری در یک آزمایشگاه هر ساعت به دو برابر تعداد خودش تقسیم می‌شود. اگر شروع کار ۲ باکتری ($ 2^1 $) داشته باشیم، بعد از ۳ ساعت تعداد باکتری‌ها می‌شود $ 2^1 × 2^1 × 2^1 $. با استفاده از قانون جمع توان‌ها، این می‌شود $ 2^{1+1+1} = 2^3 = 8 $ باکتری.
مثال دیگر در محاسبه‌ی مساحت است. اگر یک زمین کشاورزی به ابعاد $ 10^2 $ متر در $ 10^3 $ متر باشد، مساحت آن می‌شود $ 10^2 × 10^3 = 10^{2+3} = 10^5 $ متر مربع. این روش محاسبه را بسیار سریع‌تر می‌کند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
سوال ۱: آیا این قانون برای پایه‌های مختلف هم جواب می‌دهد؟ مثلاً $ 2^3 × 3^2 $ را چگونه حساب کنیم؟
پاسخ: خیر. قانون جمع توان‌ها فقط زمانی کاربرد دارد که پایه‌ها دقیقاً یکسان باشند. در مثال $ 2^3 × 3^2 $، چون پایه‌ها (۲ و ۳) متفاوت هستند، نمی‌توانیم توان‌ها را جمع کنیم. باید هر توان را جداگانه حساب کرده و سپس ضرب کنیم: $ (8) × (9) = 72 $.
سوال ۲: اگر بین دو عبارت توان‌دار علامت جمع باشد، مثلاً $ 2^3 + 2^2 $، آیا باز هم می‌توان از این قانون استفاده کرد؟
پاسخ: هرگز. این قانون فقط برای ضرب است و برای جمع کاربرد ندارد. در جمع، باید مقدار هر توان را جداگانه حساب کرده و سپس با هم جمع کنید: $ 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 $. جمع کردن توان‌ها ($ 2^{3+2} $) در اینجا اشتباه است.
سوال ۳: اگر پایه منفی باشد، مثلاً $ (-3)^2 × (-3)^4 $، آیا قانون جمع توان‌ها برقرار است؟
پاسخ: بله. تا زمانی که پایه‌ها دقیقاً یکسان باشند (هر دو $ -3 $)، قانون جمع توان‌ها پابرجاست: $ (-3)^2 × (-3)^4 = (-3)^{2+4} = (-3)^6 $. حالا چون توان ۶ یک عدد زوج است، جواب مثبت می‌شود: $ 729 $.
جمع‌بندی: در این مقاله یاد گرفتیم که قانون ضرب توان‌ها با پایه‌های مساوی یک میانبر ریاضی بسیار مفید است. به جای ضرب کردن طولانی، کافی است پایه‌ی یکسان را بنویسیم و توان‌ها را با هم جمع کنیم. این قانون در حل مسائل سریع، درک رشد نمایی در طبیعت و حتی در محاسبات علمی کاربرد فراوان دارد. فقط به یاد داشته باشید که این قانون مخصوص ضرب است و برای جمع یا پایه‌های متفاوت استفاده نمی‌شود.
پاورقی
۱توان (Exponent): نمایانگر تعداد دفعاتی است که یک عدد (پایه) در خودش ضرب می‌شود.
۲پایه (Base): عددی که بارها در خودش ضرب می‌شود.
ضرب توان
جمع توان‌ها
پایه یکسان
ریاضی پایه هفتم
قانون توان
