مساحت سطح منشور: از جعبه کفش تا آسمان‌خراش
منشور چیست و اجزای آن کدام‌اند؟
منشور یک شکل سه‌بعدی است که دو قاعده۲ هم‌شکل و هم‌اندازه و چند وجه جانبی دارد. وجه‌های جانبی همیشه مستطیل هستند. به طول، عرض و ارتفاع یک منشور نیز توجه می‌کنیم.
| نام منشور | شکل قاعده | تعداد وجه جانبی | مثال از زندگی |
|---|---|---|---|
| منشور مستطیلی | مستطیل | 4 | جعبه کفش، آجر |
| منشور مثلثی | مثلث | 3 | سقف شیروانی برخی خانه‌ها |
| منشور شش‌ضلعی | شش‌ضلعی | 6 | لانه زنبور، مداد تراشیده‌نشده |
فرمول محاسبه مساحت کل منشور
برای محاسبه مساحت کل یک منشور، باید مساحت تمام وجه‌های آن را با هم جمع کنیم. این کار را به دو بخش اصلی تقسیم می‌کنیم:
$ مساحت\ کل = مساحت\ جانبی + (2 \times مساحت\ قاعده) $
حالا هر بخش را جداگانه بررسی می‌کنیم:
مساحت جانبی۳: اگر منشور را مانند یک جعبه کفش باز کنیم، یک شکل مستطیلی بزرگ می‌بینیم. عرض این مستطیل بزرگ، برابر محیط قاعده منشور است و طول آن، برابر ارتفاع منشور. بنابراین:
$ مساحت\ جانبی = محیط\ قاعده \times ارتفاع $
مساحت قاعده‌ها: چون دو قاعده داریم که هم‌شکل و هم‌اندازه هستند، مساحت یک قاعده را حساب کرده و در 2 ضرب می‌کنیم.
محاسبه مساحت در عمل: از کلاس درس تا زندگی واقعی
فرض کنید یک جعبه هدیه به شکل منشور مستطیلی داریم. ابعاد آن عبارت‌اند از: طول 5 سانتی‌متر، عرض 3 سانتی‌متر و ارتفاع 10 سانتی‌متر. می‌خواهیم بدانیم برای کاغذ کادوی دورتا دور این جعبه چقدر نیاز داریم.
مرحله ۱: محاسبه مساحت جانبی
اول محیط قاعده مستطیلی را حساب می‌کنیم: $ محیط = 2 \times (طول + عرض) = 2 \times (5 + 3) = 16 $ سانتی‌متر.
حالا مساحت جانبی: $ مساحت\ جانبی = محیط \times ارتفاع = 16 \times 10 = 160 $ سانتی‌متر مربع.
مرحله ۲: محاسبه مساحت دو قاعده
مساحت یک قاعده: $ مساحت\ قاعده = طول \times عرض = 5 \times 3 = 15 $ سانتی‌متر مربع.
مساحت دو قاعده: $ 2 \times 15 = 30 $ سانتی‌متر مربع.
مرحله ۳: محاسبه مساحت کل
$ مساحت\ کل = 160 + 30 = 190 $ سانتی‌متر مربع.
پس برای کادوپیچی کامل این جعبه به 190 سانتی‌متر مربع کاغذ نیاز داریم.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: بله، اصل محاسبه یکسان است. مساحت جانبی هر منشوری از ضرب محیط قاعده در ارتفاع به دست می‌آید، صرف‌نظر از شکل قاعده. برای منشور مثلثی، محیط مثلث را در ارتفاع منشور ضرب می‌کنیم.
پاسخ: فراموش کردن ضرب مساحت یک قاعده در عدد 2 است. بسیاری از دانش‌آموزان فقط مساحت یک قاعده را محاسبه کرده و آن را به مساحت جانبی اضافه می‌کنند، در حالی که منشور دو قاعده دارد.
پاسخ: بله، ایده کلی یکسان است. برای استوانه نیز مساحت کل از جمع مساحت جانبی و مساحت دو قاعده دایره‌ای به دست می‌آید. فقط فرمول محاسبه مساحت دایره با مستطیل یا مثلث متفاوت است.
پاورقی
۱ منشور (Prism): شکلی سه‌بعدی با دو قاعده هم‌شکل و وجه‌های جانبی مستطیلی.
۲ قاعده (Base): وجه‌های بالا و پایین یک منشور که شکل و اندازه یکسان دارند.
۳ مساحت جانبی (Lateral Surface Area): مساحت کل وجه‌های اطراف یک منشور، بدون در نظر گرفتن مساحت دو قاعده.