کشف رابطه‌های شگفت‌انگیز: حجم منشور و دوستان هندسی آن
حجم چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟
حجم، مقدار فضایی است که یک جسم سه‌بعدی اشغال می‌کند. برای درک بهتر، یک لیوان آب را در نظر بگیرید. آبی که لیوان را پر می‌کند، حجمی دارد. واحد اندازه‌گیری حجم معمولاً سانتی‌متر مکعب۵ یا لیتر است.
فرمول کلی حجم یک منشور، که شکل پایه‌ای بسیاری از اجسام است، به صورت زیر می‌باشد:
این فرمول ساده، کلید درک حجم بسیاری از اشکال اطراف ماست. یک جعبه کفش، یک آجر و حتی یک مداد تراشیده نشده، همگی نمونه‌هایی از منشورها در زندگی روزمره هستند.
مقایسه‌ی حجم منشور با مکعب‌مستطیل و استوانه
بیایید با مقایسه‌ی حجم یک منشور با مکعب‌مستطیل شروع کنیم. یک مکعب‌مستطیل در واقع یک منشور با قاعده‌ی مستطیل شکل است. بنابراین فرمول حجم آن دقیقاً مشابه فرمول کلی منشور است. اگر یک جعبه کادوی مکعب‌مستطیل شکل داشته باشید، حجم هدایای داخل آن با همین فرمول قابل محاسبه است.
حالا نوبت استوانه میرسد. یک قوطی نوشابه را تصور کنید. استوانه نیز شبیه به یک منشور است، با این تفاوت که قاعده‌ی آن به جای چندضلعی، یک دایره است. پس فرمول حجم آن به صورت زیر خواهد بود:
در این فرمول، $ r $ شعاع دایره‌ی قاعده و $ h $ ارتفاع استوانه است. اگر یک منشور و یک استوانه با ارتفاع و مساحت قاعده‌ی یکسان داشته باشیم، حجم آن‌ها با هم برابر خواهد بود! این یک رابطه‌ی بسیار جالب است.
| شکل هندسی | نمونه در زندگی | فرمول حجم | رابطه با منشور |
|---|---|---|---|
| منشور | جعبه کفش، آجر | $ A \times h $ | پایه و اساس |
| مکعب‌مستطیل | یخچال، کتاب | $ l \times w \times h $ | نوع خاصی از منشور |
| استوانه | قوطی کنسرو، لیوان | $ \pi r^2 h $ | حجم برابر با منشور هم‌قاعده و هم‌ارتفاع |
| هرم | سقف خانه‌های شیروانی، اهرام مصر | $ \frac{1}{3} A \times h $ | حجم آن یک‌سوم منشور هم‌قاعده و هم‌ارتفاع است |
نسبت حجمی جالب: منشور و هرم
یکی از زیباترین رابطه‌ها، بین حجم یک منشور و یک هرم است. فرض کنید یک جعبه‌ی مکعب‌مستطیل شکل (یک منشور) دارید که کاملاً پر از شن است. اگر بخواهید با همین شن یک هرم با قاعده و ارتفاع یکسان بسازید، چه می‌شود؟
جواب این است که شن شما فقط برای پر کردن یک‌سوم حجم آن هرم کافی خواهد بود! به عبارت دیگر:
این نسبت 1 به 3، بدون توجه به شکل قاعده (مثلث، مربع، شش‌ضلعی و ...) همیشه برقرار است. این یک کشف فوق‌العاده در هندسه است.
حجم‌ها در عمل: از آشپزخانه تا ساخت‌وساز
حالا که با این رابطه‌ها آشنا شدیم، چطور می‌توانیم از آن‌ها در زندگی واقعی استفاده کنیم؟
مثال اول: خرید خاک گلدان
فرض کنید می‌خواهید یک گلدان جدید که به شکل یک هرم مربع‌القاعده است را با خاک پر کنید. اگر بدانید که یک گلدان قدیمی به شکل منشور (مکعب‌مستطیل) با همان اندازه‌ی قاعده و ارتفاع دارید، می‌دانید که خاک مورد نیاز برای گلدان جدید، فقط یک‌سوم گلدان قدیمی خواهد بود. این به شما در خرید مقدار مناسب خاک کمک می‌کند.
مثال دوم: ساخت یک آب‌نما
برای ساخت یک حوضچه‌ی استوانه‌ای شکل در حیاط مدرسه، باید بدانید چه مقدار سیمان برای کف آن نیاز دارید. اگر حوضچه را به صورت یک منشور با قاعده‌ی مربع (با همان مساحت) در نظر بگیرید، محاسبه‌ی حجم اولیه بسیار ساده‌تر می‌شود. سپس با استفاده از فرمول استوانه، حجم واقعی را به دست می‌آورید.
این دانش به معماران و سازندگان کمک می‌کند تا مصالح ساختمانی را به درستی برآورد کرده و از هدررفت منابع جلوگیری کنند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
۱ منشور (Prism): جسم سه‌بعدی که دو قاعده‌ی هم‌شکل و موازی دارد و وجه‌های جانبی آن متوازی‌الاضلاع هستند.
۲ مکعب‌مستطیل (Cuboid): منشوری که همه‌ی وجوه آن مستطیل هستند.
۳ هرم (Pyramid): جسمی که قاعده‌ی آن یک چندضلعی و وجه‌های جانبی آن مثلث‌هایی هستند که در یک نقطه به نام رأس هرم به هم می‌رسند.
۴ استوانه (Cylinder): جسمی که دو قاعده‌ی دایره‌ی هم‌شکل و موازی دارد و یک سطح خمیده آن‌ها را به هم وصل می‌کند.
۵ سانتی‌متر مکعب (Cubic Centimetre): واحد اندازه‌گیری حجم که برابر است با حجم یک مکعب با اضلاع به طول یک سانتی‌متر.