ک.م.م: کوچک‌ترین عددی که هر دو عدد داده‌شده در آن ضرب می‌شوند و بر آن بخش‌پذیرند.

کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م)¹: راز هماهنگی در دنیای اعداد

ک.م.م چیست و چگونه آن را درک کنیم؟

فرض کنید دو چراغ راهنمایی در یک تقاطع داریم. چراغ اول هر 30 ثانیه و چراغ دوم هر 45 ثانیه یکبار سبز می‌شوند. اگر هر دو چراغ هم‌زمان سبز شوند، پس از چه مدت دوباره با هم سبز خواهند شد؟ برای پاسخ به این سؤال، باید کوچکترین مضرب مشترک این دو عدد را پیدا کنیم.

مضرب² یک عدد، حاصل‌ضرب آن عدد در یک عدد طبیعی مانند 1, 2, 3, ... است. برای مثال، مضرب‌های عدد 4 عبارت‌اند از: 4, 8, 12, 16, 20, ...

حالا اگر مضرب‌های دو عدد را بنویسیم، به اعدادی که در هر دو فهرست وجود دارند، مضرب‌های مشترک می‌گوییم. کوچکترین عدد در بین این مضرب‌های مشترک، همان کوچکترین مضرب مشترک است.

روش‌های محاسبه ک.م.م

برای پیدا کردن ک.م.م دو عدد، روش‌های ساده‌ای وجود دارد که دو روش متداول را بررسی می‌کنیم.

روش اول: فهرست کردن مضرب‌ها

این روش ساده و قابل درک است. فقط کافی است مضرب‌های هر دو عدد را بنویسیم و اولین مضرب مشترک بین آن‌ها را پیدا کنیم.

مثال: ک.م.م اعداد 6 و 8 را پیدا کنید.

• مضرب‌های 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
• مضرب‌های 8: 8, 16, 24, 32, 40, ...

مضرب‌های مشترک: 24, 48, ... → کوچکترین آن‌ها 24 است. پس: $ک.م.م(6, 8) = 24$

روش دوم: تجزیه به عوامل اول

این روش برای اعداد بزرگتر، سریع‌تر و بهینه‌تر است. در این روش، هر دو عدد را به حاصل‌ضرب عوامل اولشان تجزیه می‌کنیم. سپس، برای پیدا کردن ک.م.م، بزرگترین توان هر عامل اول را در نظر گرفته و در هم ضرب می‌کنیم.

مثال: ک.م.م اعداد 12 و 18 را با تجزیه پیدا کنید.

• تجزیه‌ی 12: $2^2 \times 3$
• تجزیه‌ی 18: $2 \times 3^2$
• عوامل اول موجود: 2 و 3
• بزرگترین توان عامل 2، $2^2$ است. بزرگترین توان عامل 3، $3^2$ است.
• پس ک.م.م برابر است با: $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

بنابراین $ک.م.م(12, 18) = 36$.

ک.م.م در زندگی روزمره ما

شاید فکر کنید ک.م.م فقط یک موضوع درسی است، اما کاربردهای بسیار جالبی در اطراف ما دارد.

مثال ۱: برنامه‌ریزی برای مهمانی
شما می‌خواهید برای مهمانی، کیک و شیرینی بخرید. بسته‌های کیک هر 9 عددی و بسته‌های شیرینی هر 12 عددی هستند. شما می‌خواهید به تعداد مساوی از هر دو بسته بخرید تا تعداد کیک و شیرینی‌ها در پایان مهمانی دقیقاً برابر باشد. کمترین تعداد بسته از هر کدام که باید بخرید چقدر است؟ اینجا باید ک.م.م 9 و 12 را پیدا کنیم که می‌شود 36. پس باید 36 ÷ 9 = 4 بسته کیک و 36 ÷ 12 = 3 بسته شیرینی بخرید.

مثال ۲: تنظیم چراغ‌های راهنمایی
در مثال ابتدای مقاله، چراغ‌ها هر 30 و 45 ثانیه سبز می‌شوند. ک.م.م 30 و 45 برابر است با 90. پس هر دو چراغ هر 90 ثانیه یکبار هم‌زمان سبز می‌شوند. این محاسبه به مهندسان ترافیک کمک می‌کند تا از ایجاد ترافیک جلوگیری کنند.

مثال ۳: هماهنگی ضربان قلب
دو دونده در یک مسیر، هر دور را به ترتیب در 6 و 8 دقیقه تمام می‌کنند. آن‌ها از یک نقطه شروع می‌کنند. پس از چند دقیقه دوباره در نقطه شروع به هم می‌رسند؟ پاسخ ک.م.م 6 و 8، یعنی 24 دقیقه دیگر.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹ک.م.م (کوچکترین مضرب مشترک): معادل انگلیسی Least Common Multiple (LCM).
²مضرب (Multiple): حاصل‌ضرب یک عدد در یک عدد صحیح و مثبت.
³ب.م.م (بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک): معادل انگلیسی Greatest Common Divisor (GCD).