چرا زاویه‌های متقابل به رأس با هم برابرند؟
خطوط متقاطع و زاویه‌های به وجود آمده
وقتی دو خط در یک صفحه همدیگر را قطع می‌دهند، یک نقطه‌ی مشترک به نام تقاطع۶ و چهار ناحیه‌ی زاویه‌دار ایجاد می‌کنند. به این چهار زاویه، زاویه‌های حاصل از تقاطع می‌گوییم. اگر با دقت به این چهار زاویه نگاه کنید، متوجه می‌شوید که آنها دو به دو در متقابل یکدیگر قرار گرفته‌اند. این زاویه‌ها را زاویه‌های متقابل به رأس می‌نامند.
| نام زاویه | موقعیت | مثال در زندگی |
|---|---|---|
| زاویه‌های متقابل به رأس | درست روبروی هم و اشتراک رأس | تقاطع دو خیابان، قیچی باز |
| زاویه‌های مجاور | کنار هم و یک ضلع مشترک | دو کتاب کنار هم روی قفسه |
برای درک بهتر، تصور کنید دو خیابان مستقیم از وسط یک میدان عبور کرده و یک تقاطع به شکل علامت بعلاوه ($+$) ایجاد کرده‌اند. چهار گوشه‌ی این میدان، دقیقاً شبیه به چهار زاویه‌ای هستند که از برخورد دو خط ایجاد شده‌اند. دو گوشه‌ی که دقیقاً روبروی هم قرار گرفته‌اند، نمونه‌ای از زاویه‌های متقابل به رأس هستند.
نقش خط راست و زاویه‌ی نیم‌خط در این تساوی
کلید حل این معما، درک مفهوم خط راست است. یک خط راست، زاویه‌ی $180^\circ$ (صد و هشتاد درجه) ایجاد می‌کند. این یعنی اگر روی یک خط مستقیم بایستید و به هر دو جهت آن نگاه کنید، مجموع زاویه‌ی دید شما در دو طرف $180^\circ$ خواهد بود. حالا فرض کنید این خط راست با یک خط دیگر قطع شده است. خط دوم، خط اول را به دو نیم‌خط تقسیم می‌کند.
بیایید از این مفهوم استفاده کنیم. در شکل تقاطع دو خط، چهار زاویه به نام‌های $\angle 1$، $\angle 2$، $\angle 3$ و $\angle 4$ داریم. زاویه‌های $\angle 1$ و $\angle 2$ روی یک خط راست هستند، پس:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$
به طور مشابه، زاویه‌های $\angle 2$ و $\angle 3$ نیز روی خط راست دیگری هستند، پس:
$\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$
اثبات گام‌به‌گام تساوی زاویه‌های متقابل به رأس
حالا با استفاده از روابط بالا، ثابت می‌کنیم که $\angle 1 = \angle 3$. از دو معادله‌ی قبلی داریم:
- $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$
- $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$
اگر این دو تساوی را با هم مقایسه کنیم، می‌بینیم که هر دو عبارت سمت راست برابر با $180^\circ$ هستند. بنابراین می‌توانیم بنویسیم:
$\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$
حالا عدد $\angle 2$ از دو طرف این تساوی کم می‌کنیم:
$\angle 1 + \angle 2 - \angle 2 = \angle 2 + \angle 3 - \angle 2$
که نتیجه می‌دهد:
$\angle 1 = \angle 3$
به همین ترتیب و با استفاده از رابطه‌ی بین زاویه‌های دیگر، می‌توان ثابت کرد که $\angle 2 = \angle 4$. پس زاویه‌های متقابل به رأس با هم برابرند.
کاربرد زاویه‌های متقابل به رأس در زندگی و اطراف ما
شاید فکر کنید این یک مفهوم کاملاً تئوری است، اما مثال‌های زیادی از آن در اطراف ما وجود دارد.
مثال ۱: تقاطع خیابان‌ها
همانطور که قبلاً گفتیم، وقتی دو خیابان مستقیم همدیگر را قطع می‌کنند، چهار پیچ ایجاد می‌شود. اگر اندازه‌ی یکی از این پیچ‌ها (زاویه‌ها) را بدانید، می‌توانید اندازه‌ی پیچ دقیقاً متقابل آن را نیز بدون اندازه‌گیری پیدا کنید. اگر پیج سمت راست شما ۷۰ درجه باشد، پیچ متقابل آن نیز حتماً ۷۰ درجه است.
مثال ۲: قیچی
وقتی یک قیچی را باز می‌کنید، دو تیغه‌ی آن دو خط متقاطع را تشکیل می‌دهند. زاویه‌ی بین دو تیغه در بالا و پایین نقطه‌ی اتصال (محل پیچ قیچی) همیشه با هم برابر است. این به قیچی کمک می‌کند تا نیرو را به طور مساوی تقسیم کند و برش یکنواختی ایجاد نماید.
مثال ۳: دارت‌بازی
صفحه‌ی دارت معمولاً خطوط متقاطع زیادی دارد. اگر خطوط قرمز و سیاهی که شماره‌ها را از هم جدا می‌کنند در نظر بگیرید، در هر نقطه‌ای که این خطوط همدیگر را قطع می‌کنند، زاویه‌های روبرو با هم برابرند. این برابری به زیبایی و تقارن صفحه‌ی دارت کمک می‌کند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. شرط اصلی این است که این زاویه‌ها از تقاطع دو خط راست به وجود آمده باشند و رأس مشترک داشته باشند. برای مثال، در یک مستطیل، زاویه‌های روبرو با هم برابرند، اما این برابری به دلیل قاعده‌ی دیگری در هندسه (زاویه‌های متقابل در متوازی‌الاضلاع) است و این زاویه‌ها، متقابل به رأس نیستند چون از تقاطع دو خط به وجود نیامده‌اند.
پاسخ: بله، کاملاً. قاعده‌ی تساوی زاویه‌های متقابل به رأس، مستقل از موازی بودن یا نبودن خطوط دیگر است. هر جا دو خط (هر خطی) همدیگر را قطع کنند، زاویه‌های متقابل به رأس حتماً با هم برابر خواهند بود. خطوط موازی فقط بر روی روابط بین سایر زاویه‌ها (مانند زاویه‌های متبادل و متناظر) تأثیر می‌گذارند.
پاسخ: یک اشتباه رایج این است که دانش‌آموزان فکر می‌کنند اگر دو خط خمیده یا شکسته همدیگر را قطع کنند، باز هم این قانون برقرار است. این قاعده فقط برای خطوط راست صادق است. زیرا اساس اثبات، بر روی زاویه‌ی نیم‌صفحه ($180^\circ$) بودن یک خط استوار است.
در این مقاله یاد گرفتیم که زاویه‌های متقابل به رأس همیشه با هم برابرند. دلیل این تساوی، این است که این زاویه‌ها از تقاطع دو خط راست به وجود می‌آیند و هر خط راست یک زاویه‌ی $180^\circ$ ایجاد می‌کند. با استفاده از این ویژگی و رابطه‌ی بین زاویه‌های مجاور و مکمل، به راحتی می‌توان برابری آنها را ثابت کرد. این مفهوم نه تنها در کتاب‌های درسی، بلکه در تقاطع خیابان‌ها، طراحی ابزار و بسیاری از وسایل اطراف ما کاربرد دارد.
پاورقی
۱ Vertically Opposite Angles (VOAs)
۲ Straight Line
۳ Ray
۴ Adjacent Angles
۵ Supplementary Angles
۶ Point of Intersection