کشف رمز الگوها: پیدا کردن جمله عمومی دنباله‌ها
دنباله اعداد چیست؟
یک دنباله اعداد، فهرستی منظم از اعداد است که بر اساس قاعده‌ای خاص پشت سر هم قرار گرفته‌اند. به هر عدد در این فهرست، یک جمله۴ می‌گوییم. برای مثال، شماره‌های پلاک خانه‌های یک خیابان را در نظر بگیرید: ۲، ۴، ۶، ۸، ... این اعداد یک دنباله را تشکیل می‌دهند که قاعده آن $ +2 $ است.
| نام دنباله | چند جمله اول | الگوی افزایش |
|---|---|---|
| دنباله اعداد زوج | ۲, ۴, ۶, ۸ | جمله بعدی = جمله قبلی +2 |
| دنباله اعداد فرد | ۱, ۳, ۵, ۷ | جمله بعدی = جمله قبلی +2 |
| دنباله مضرب‌های ۵ | ۵, ۱۰, ۱۵, ۲۰ | جمله بعدی = جمله قبلی +5 |
جمله عمومی چیست و چرا مهم است؟
جمله عمومی یک دنباله، مانند یک فرمول جادویی است که به شما امکان می‌دهد مقدار هر جمله از دنباله را فقط با دانستن شماره آن جمله، محاسبه کنید. ما معمولاً شماره جمله را با حرف $ n $ نشان می‌دهیم و جمله عمومی را با $ a_n $ نمایش می‌دهیم.
چگونه جمله عمومی یک دنباله ساده را پیدا کنیم؟
برای پیدا کردن قاعده، باید به رابطه بین شماره جمله ($ n $) و مقدار خود جمله ($ a_n $) دقت کنید. بیایید با یک مثال شروع کنیم:
مثال ۱: دنباله اعداد زوج
جمله‌ها: ۲, ۴, ۶, ۸, ...
می‌توانیم یک جدول بسازیم:
| شماره جمله (n) | مقدار جمله (aₙ) | رابطه کشف شده |
|---|---|---|
| ۱ | ۲ | $ 2 = 2 \times 1 $ |
| ۲ | ۴ | $ 4 = 2 \times 2 $ |
| ۳ | ۶ | $ 6 = 2 \times 3 $ |
| ۴ | ۸ | $ 8 = 2 \times 4 $ |
همانطور که می‌بینید، در هر سطر، مقدار جمله از ضرب شماره جمله در عدد ۲ به دست می‌آید. بنابراین جمله عمومی این دنباله می‌شود: $ a_n = 2n $.
حالا اگر بخواهیم جمله دهم را پیدا کنیم، کافی است $ n=10 $ را در فرمول قرار دهیم: $ a_{10} = 2 \times 10 = 20 $.
الگوها در زندگی روزمره
فرض کنید در حیاط مدرسه شما، ردیفی از گلدان وجود دارد. در ردیف اول ۳ گلدان، در ردیف دوم ۵ گلدان، در ردیف سوم ۷ گلدان و ... قرار دارد. این یک دنباله است: ۳, ۵, ۷, ۹, ...
اگر بخواهیم جمله عمومی این دنباله را پیدا کنیم، دوباره یک جدول می‌سازیم:
| شماره ردیف (n) | تعداد گلدان (aₙ) | رابطه کشف شده |
|---|---|---|
| ۱ | ۳ | $ 3 = (2 \times 1) + 1 $ |
| ۲ | ۵ | $ 5 = (2 \times 2) + 1 $ |
| ۳ | ۷ | $ 7 = (2 \times 3) + 1 $ |
پس جمله عمومی می‌شود: $ a_n = 2n + 1 $. حالا می‌توانید به راحتی تعداد گلدان‌های ردیف هشتم را محاسبه کنید: $ a_8 = (2 \times 8) + 1 = 17 $.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
۱جمله عمومی (General Term): فرمولی که به کمک آن می‌توان هر جمله از یک دنباله را بدون دانستن جمله‌های قبل محاسبه کرد.
۲دنباله اعداد (Number Sequence): یک لیست منظم و پشت سر هم از اعداد.
۳الگوی ریاضی (Mathematical Pattern): قاعده یا رابطه‌ای که بین اجزای یک مجموعه ریاضی وجود دارد.
۴جمله (Term): به هر یک از اعضای یک دنباله یا مجموعه، یک جمله می‌گویند.
۵دنباله حسابی (Arithmetic Sequence): دنباله‌ای که در آن اختلاف هر دو جمله متوالی ثابت است.