دوران: چرخش زیبای اجسام
دوران چیست و چگونه کار می‌کند؟
دوران در ریاضیات به معنای چرخش یک شکل حول یک نقطه‌ی ثابت است. به این نقطه‌ی ثابت، مرکز دوران۱ می‌گویند. برای انجام یک دوران، به سه چیز نیاز داریم: یک مرکز، یک زاویه و یک جهت. فکر کنید شما یک مداد را روی کاغذ نگه داشته‌اید و یک شکل مثلث را حول نوک آن مداد می‌چرخانید. نوک مداد در اینجا نقش مرکز دوران را بازی می‌کند.
اگر یک نقطه با مختصات $(x, y)$ را به اندازهٔ زاویهٔ $\theta$ حول مبدأ مختصات $(0,0)$ بچرخانیم، مختصات جدید $(x', y')$ از رابطه‌های زیر به دست می‌آید:
$x' = x \cos(\theta) - y \sin(\theta)$
$y' = x \sin(\theta) + y \cos(\theta)$
برای مثال، اگر یک نقطه روی صفحه‌ی ساعت را در نظر بگیرید و عقربه‌ی ساعت‌شمار از عدد ۱۲ به عدد ۳ برود، این یک دوران ۹۰ درجه‌ای حول مرکز ساعت است.
انواع و ویژگی‌های مهم دوران
دوران را می‌توان بر اساس معیارهای مختلفی دسته‌بندی کرد. دو ویژگی اصلی، زاویه و جهت هستند. زاویه می‌تواند مقادیر مختلفی داشته باشد و جهت نیز معمولاً در دو جهت پادساعت‌گرد۲ (جهت مثبت) و ساعت‌گرد۳ (جهت منفی) تعریف می‌شود.
| نام زاویه | اندازه (درجه) | مثال در زندگی |
|---|---|---|
| دوران ربع | ۹۰° | چرخش از حالت عمودی به حالت افقی |
| دوران نیمه | ۱۸۰° | چرخش کامل یک شیر آب از حالت بسته به باز |
| دوران کامل | ۳۶۰° | چرخش کامل چرخ یک دوچرخه |
یک ویژگی جالب دوران این است که شکل در حین چرخش، اندازه و شکل خود را از دست نمی‌دهد. فقط مکان و جهت آن در صفحه تغییر می‌کند. به این ویژگی، همریختی۴ می‌گویند.
دوران در زندگی روزمره ما
ما هر روزه شاهد نمونه‌های زیادی از دوران در اطراف خود هستیم. وقتی در را به روی کسی باز می‌کنید، در حول لولای خود می‌چرخد. لولا در اینجا نقش مرکز دوران را ایفا می‌کند. چرخش چرخ‌های ماشین اسباب‌بازی، حرکت پره‌های پنکه، چرخش زمین به دور خودش و حتی چرخاندن فرمان دوچرخه، همه و همه نمونه‌هایی از حرکت دورانی هستند.
یک آزمایش ساده: یک مداد بردارید و آن را از نوکش روی کاغذ محکم نگه دارید. حالا با دست دیگر مداد را بچرخانید. شما در حال انجام یک دوران هستید! نقطه‌ای که مداد روی کاغذ ثابت است، مرکز دوران شماست.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
۱مرکز دوران (Center of Rotation): نقطه‌ای ثابت که یک شکل حول آن می‌چرخد.
۲پادساعت‌گرد (Counterclockwise): جهتی مخالف حرکت عقربه‌های ساعت. در ریاضیات این جهت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود.
۳ساعت‌گرد (Clockwise): جهتی موافق حرکت عقربه‌های ساعت. در ریاضیات این جهت معمولاً منفی در نظر گرفته می‌شود.
۴همریختی (Isometry): یک تبدیل هندسی که در آن فاصله بین نقاط حفظ می‌شود و در نتیجه اندازه و شکل شکل تغییر نمی‌کند.
۵انتقال (Translation): یک تبدیل هندسی که در آن هر نقطه از یک شکل به اندازهٔ یک بردار مشخص و در یک جهت، جابه‌جا می‌شود.