بسامد زاویه‌ای: زبان ریاضی نوسان
نوسان و حرکت تناوبی چیست؟
حرکت تناوبی به حرکتی گفته می‌شود که در بازه‌های زمانی مشخص، تکرار شود. یک نوسان‌گر۴ ساده، مانند یک وزنه که به فنر آویزان است یا یک پاندول، نمونه‌ای عالی از این حرکت است. اگر وزنه‌ای را روی یک فنر به سمت پایین بکشید و رها کنید، شروع به بالا و پایین رفتن می‌کند. این حرکت رفت و برگشتی، یک نوسان است. هر بار که وزنه به پایین‌ترین نقطه برسد و دوباره به همان نقطه بازگردد، یک تناوب۵ کامل انجام داده است.
برای توصیف این نوسان، به چند کمیت نیاز داریم:
| کمیت | نماد | تعریف | یکا |
|---|---|---|---|
| دوره تناوب | $ T $ | زمان لازم برای انجام یک نوسان کامل | ثانیه (s) |
| بسامد | $ f $ | تعداد نوسان‌های کامل در یک ثانیه | هرتز (Hz) |
| بسامد زاویه‌ای | $ \omega $ | سرعت تغییر فاز در نوسان | رادیان بر ثانیه (rad/s) |
از بسامد معمولی تا بسامد زاویه‌ای
فرض کنید یک آونگ در هر ثانیه 2 نوسان کامل انجام می‌دهد. این یعنی بسامد آن $ f = 2 \, \text{Hz} $ است. اما در ریاضیات و فیزیک، اغلب ترجیح می‌دهیم نوسان را با استفاده از توابع مثلثاتی مانند سینوس و کسینوس مدل کنیم. برای این کار، از مفهوم فاز۶ استفاده می‌کنیم که مانند یک زاویه، موقعیت نوسان‌گر را در چرخه نوسانش مشخص می‌کند.
رابطه بین بسامد ($ f $) و دوره تناوب ($ T $): $ f = \frac{1}{T} $
رابطه بین بسامد زاویه‌ای ($ \omega $) و بسامد ($ f $): $ \omega = 2\pi f $
رابطه مستقیم بسامد زاویه‌ای با دوره تناوب: $ \omega = \frac{2\pi}{T} $
عدد $ 2\pi $ در این فرمول‌ها از اینجا می‌آید که یک نوسان کامل معادل چرخش یک دایره و پیمودن زاویه $ 2\pi $ رادیان است. بنابراین، بسامد زاویه‌ای به ما می‌گوید که این "زاویه فاز" با چه سرعتی (بر حسب رادیان بر ثانیه) در حال تغییر است.
بسامد زاویه‌ای در عمل: از آونگ تا جریان متناوب
این مفهوم فقط یک ابزار ریاضی نیست، بلکه در دنیای واقعی کاربردهای فراوانی دارد.
مثال ۱: آونگ ساده
دوره تناوب یک آونگ ساده به طول $ L $ و شتاب گرانش $ g $ بستگی دارد: $ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $. اگر یک آونگ به طول 1 متر داشته باشیم ($ g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2 $)، دوره تناوب آن تقریباً 2.0 ثانیه خواهد بود. حالا می‌توانیم بسامد زاویه‌ای آن را محاسبه کنیم:
$ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2.0} \approx 3.14 \, \text{rad/s} $.
این عدد نشان می‌دهد فاز نوسان آونگ در هر ثانیه حدود 3.14 رادیان تغییر می‌کند.
مثال ۲: سیستم جرم و فنر
برای یک جرم $ m $ متصل به فنری با ثابت فنر $ k $، بسامد زاویه‌ای مستقیماً از رابطه $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ به دست می‌آید. این یک فرمول بسیار مهم است. اگر جرم بیشتر شود، $ \omega $ کاهش می‌یابد و نوسان کندتر می‌شود. اگر فنر سفت‌تر شود (یعنی $ k $ بزرگتر)، $ \omega $ افزایش یافته و نوسان تندتر می‌شود.
مثال ۳: برق شهر (جریان متناوب)
برق پریزهای خانه شما یک موج سینوسی با بسامد 50 هرتز است. بسامد زاویه‌ای این جریان برابر است با: $ \omega = 2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314 \, \text{rad/s} $. این مقدار در محاسبات مربوط به مدارهای AC۷ بسیار پرکاربرد است.
تفاوت سرعت زاویه‌ای و بسامد زاویه‌ای
این دو مفهوم اغلب با هم اشتباه گرفته می‌شوند، اما یک تفاوت کلیدی دارند. سرعت زاویه‌ای۸ مربوط به حرکت دایره‌ای واقعی است. مثلاً سرعت زاویه‌ای یک چرخ که می‌چرخد و واحد آن رادیان بر ثانیه است. اما بسامد زاویه‌ای مربوط به حرکت تناوبی و نوسانی است، حتی اگر آن نوسان به شکل یک خط راست باشد (مانند جرم روی فنر). بسامد زاویه‌ای یک مفهوم انتزاعی‌تر است که از قیاس با حرکت دایره‌ای برای توصیف ریاضی نوسان بهره می‌برد.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
بسامد زاویه‌ای ($ \omega $) یک ابزار ریاضی قدرتمند و پرکاربرد برای توصیف سرعت نوسان در سیستم‌های تناوبی است. این کمیت با دوره تناوب ($ T $) و بسامد معمولی ($ f $) از طریق روابط ساده $ \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} $ در ارتباط است. درک این مفهوم نه تنها برای تحلیل سیستم‌های مکانیکی مانند آونگ و سیستم جرم-فنر، بلکه برای فهم دنیای امواج و مدارهای الکتریکی نیز ضروری است.
پاورقی
۱ بسامد زاویه‌ای (Angular Frequency)
۲ دوره تناوب (Period)
۳ بسامد (Frequency)
۴ نوسان‌گر (Oscillator)
۵ تناوب (Cycle)
۶ فاز (Phase)
۷ جریان متناوب (Alternating Current - AC)
۸ سرعت زاویه‌ای (Angular Velocity)